Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=loga（x+1）﹣loga（1﹣x），a＞0且a≠1．
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性并予以證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題得，使解析式有意義的x范圍是使不等式組 成立的x范圍，解得﹣1＜x＜1，

所以函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|﹣1＜x＜1}

（2）解：函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，

證明：由（1）知函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

且f（﹣x）=loga（﹣x+1）﹣loga（1+x）=﹣loga（1+x）+loga（1﹣x）=﹣[loga（1+x）﹣loga（1﹣x）]=﹣f（x）

所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)

【解析】（1）使函數(shù)各部分都有意義的自變量的范圍，即列出不等式組 ，解此不等式組求出x范圍就是函數(shù)的定義域；（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行證明即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的定義域及其求法的相關(guān)知識(shí)，掌握求函數(shù)的定義域時(shí)，一般遵循以下原則：①是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù);②是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù);③是偶次根式時(shí)，定義域是使被開(kāi)方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合;④對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對(duì)數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)，底數(shù)須大于零且不等于1,零（負(fù)）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零，以及對(duì)函數(shù)的奇偶性的理解，了解偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．