已知函數(shù)f(x)=
12
x2-lnx
,g(x)=2x3-9x2+12x-3.
(1)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若關(guān)于x的方程g(x)=k有三個零點,求實數(shù)k的取值范圍.
分析:(1)求導(dǎo)數(shù),由導(dǎo)數(shù)的正負(fù),可得函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求導(dǎo)數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,可得函數(shù)的極值,利用關(guān)于x的方程g(x)=k有三個零點時g(x)極小值<k<g(x)極大值,即可求實數(shù)k的取值范圍.
解答:解:(1)求導(dǎo)數(shù)可得f′(x)=x-
1
x
=
(x+1)(x-1)
x
(x>0)
令f′(x)>0,x>0,可得x>1;令f′(x)<0,x>0,可得0<x<1,
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是(1,+∞),單調(diào)減區(qū)間是(0,1);
(2)g′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2).
令g′(x)>0,可得x<1或x>2;令g′(x)<0,可得1<x<2,
∴函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-∞,1),(2,+∞);單調(diào)減區(qū)間是(1,2)
∴函數(shù)g(x)在x=1處取得極大值2,在x=2處取得極小值1
∵關(guān)于x的方程g(x)=k有三個零點
∴g(x)極小值<k<g(x)極大值
∴1<k<2.
點評:本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查函數(shù)的極值,考查函數(shù)的零點,確定函數(shù)的極值是關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義在D上的函數(shù)f(x)如果滿足:對任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x

(1)m=1時,求函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的值域,并判斷f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù),請說明理由;
(2)若函數(shù)f(x)在[0,1]上是以3為上界的有界函數(shù),求m的取值范圍.

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