Question

15．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知B是A、C的等差中項(xiàng)，且b=2，則△ABC面積的最大值為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由已知利用等差數(shù)列的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可求B，利用余弦定理，基本不等式可求ac≤4，進(jìn)而利用三角形面積公式即可計(jì)算得解．

解答 解：由2B=A+C，A+B+C=π，得B=$\frac{π}{3}$，
由余弦定得b²=a²+c²-2accosB=4，
即a²+c²-ac=4，
又a²+c²≥2ac，（當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號(hào)成立），得ac≤4，
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac$≤\sqrt{3}$，即△ABC面積的最大值為$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，余弦定理，基本不等式，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．