Question

20．已知$a=\int_{-\frac{π}{4}}^{\frac{3π}{4}}{2cos（x-\frac{π}{4}）}dx$，則${（{x-\frac{a}{{\sqrt{x}}}}）^8}$展開式中x⁵的系數(shù)為448．

Answer 1

分析 先根據(jù)定積分求出a的值，再根據(jù)二項式的通項公式求得結果．

解答 解：$a=\int_{-\frac{π}{4}}^{\frac{3π}{4}}{2cos（x-\frac{π}{4}）}dx$=2sin（x-$\frac{π}{4}$）${|}_{-\frac{π}{4}}^{\frac{3π}{4}}$=2[sin（$\frac{3π}{4}$-$\frac{π}{4}$）-sin（-$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{4}$）]=4，
∴${（{x-\frac{a}{{\sqrt{x}}}}）^8}$展通項為C₈^r（-4）^r${x}^{8-\frac{3r}{2}}$，
令8-$\frac{3}{2}$r=5，解得r=2，
∴展開式中x⁵的系數(shù)為C₈²（-4）²=448．
故答案為：448

點評 本題主要考查了定積分的計算和二項式定理，屬于基礎題．