精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

【題目】在四棱錐中，，，.

（1）若點為的中點，求證：平面；

（2）當平面平面時，求二面角的余弦值.

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

（1）通過作的中點，連結，，通過中位線定理分別證明，來證明平面平面，從而證明平面

（2）當平面平面時，再結合題干信息，可作的中點，連接，以的方向為軸正方向，的方向為軸正方向，的方向為軸正方向建立空間直角坐標系，用向量法來求解二面角的余弦值

解：（1）取的中點，連結，.

∵為等邊三角形，∴.

∴，又，

∴四邊形是平行四邊形，∴.

又∵平面，平面，

∴平面.

∵為的中點，為的中點，∴.

同理：平面.

∵，∴平面平面.

∵平面，∴平面.

（2）取的中點，連結，，則，.

∵平面平面，，

∴平面，∴，，.

以為坐標原點，的方向為軸正方向，

建立空間直角坐標系.

則，，.

∴，，

平面的一個法向量為.

設平面的法向量為，則，即.

令，得，，∴平面的一個法向量，

∴.

設二面角的大小為，結合圖形可知.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】5張獎券中有2張是中獎的，先由甲抽1張，然后由乙抽1張，抽后不放回，求:

（1）甲中獎的概率；

（2）甲、乙都中獎的概率；

（3）只有乙中獎的概率；

（4）乙中獎的概率.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】己知橢圓上任意一點到其兩個焦點，的距離之和等于，焦距為2c，圓，，是橢圓的左、右頂點，AB是圓O的任意一條直徑，四邊形面積的最大值為．

（1）求橢圓C的方程；

（2）如圖，若直線與圓O相切，且與橢圓相交于M，N兩點，直線與平行且與橢圓相切于P（O，P兩點位于的同側），求直線，距離d的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知點到點的距離比它到直線距離小

（Ⅰ）求點的軌跡的方程；

（Ⅱ）過點作互相垂直的兩條直線，它們與（Ⅰ）中軌跡分別交于點及點，且分別是線段的中點，求面積的最小值.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數的部分圖象如圖所示.

（1）求的值；

（2）求在上的最大值和最小值；

（3）不畫圖，說明函數的圖象可由的圖象經過怎樣變化得到.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某工廠生產一種儀器的元件，由于受生產能力和技術水平的限制，會產生一些次品，根據經驗知道，其次品率與日產量（萬件）之間滿足關系：（）已知每生產1萬件合格的儀器可以盈利2萬元，但每生產1萬件次品將虧損1萬元，故廠方希望定出合適的日產量.（注：次品率=次品數/生產量）

（1）試將生產這種儀器元件每天的盈利額（萬元）表示為日產量（萬件）的函數；

（2）當日產量為多少時，可獲得最大利潤？

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

（Ⅰ）討論函數的單調性；

（Ⅱ）當時，在定義域內恒成立，求實數的值.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

（Ⅰ）若函數在上是單調遞增函數，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）若，對任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某城市在進行創(chuàng)建文明城市的活動中，為了解居民對“創(chuàng)文”的滿意程度，組織居民給活動打分（分數為整數．滿分為100分）．從中隨機抽取一個容量為120的樣本．發(fā)現所有數據均在內．現將這些分數分成以下6組并畫出了樣本的頻率分布直方圖，但不小心污損了部分圖形，如圖所示．觀察圖形，回答下列問題：

（1）算出第三組的頻數．并補全頻率分布直方圖；

（2）請根據頻率分布直方圖，估計樣本的眾數、中位數和平均數．（每組數據以區(qū)間的中點值為代表）

查看答案和解析>>

同步練習冊答案