Question

7．如圖為某市2017年2月28天的日空氣質(zhì)量指數(shù)折線圖．

由中國空氣質(zhì)量在線監(jiān)測分析平臺提供的空氣質(zhì)量指數(shù)標(biāo)準(zhǔn)如下：

空氣質(zhì)量指數(shù)	（0，50]	（50，100]	（100，150]	（150，200]	（200，300]	300以上
空氣質(zhì)量等級	1級優(yōu)	2級良	3級輕度污染	4級中度污染	5級重度污染	6級嚴(yán)重污染

（Ⅰ）請根據(jù)所給的折線圖補(bǔ)全下方的頻率分布直方圖（并用鉛筆涂黑矩形區(qū)域），并估算該市2月份空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測數(shù)據(jù)的平均數(shù)（保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；

（Ⅱ）研究人員發(fā)現(xiàn)，空氣質(zhì)量指數(shù)測評中PM2.5與燃燒排放的CO兩個項(xiàng)目存在線性相關(guān)關(guān)系，以100ug/m³為單位，如表給出PM2.5與CO的相關(guān)數(shù)據(jù)：

CO（x）	0.5	1	1.5
PM2.5（y）	1	2	4

求y關(guān)于x的回歸方程，并估計(jì)當(dāng)CO排放量是200ug/m³時，PM2.5的值．
（用最小二乘法求回歸方程的系數(shù)是$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n•\overline x•\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n•{{\overline x}^2}}}}$$，\hat a=\overline y-\hat b\overline x$）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由折線圖知空氣質(zhì)量指數(shù)對應(yīng)的頻數(shù)求出各小矩形的高，補(bǔ)全頻率分布直方圖，由此求出空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測數(shù)據(jù)的平均數(shù)值；
（Ⅱ）根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回歸方程的系數(shù)，寫出回歸方程，利用回歸方程計(jì)算x=2時$\stackrel{∧}{y}$的值即可．

解答 解：（Ⅰ）由折線圖知空氣質(zhì)量指數(shù)分別為（0，50]，（50，100]，
（100，150]，（150，200]的頻數(shù)分別為2，16，8，2，
∴各組對應(yīng)的頻率分布為$\frac{1}{14}$，$\frac{4}{7}$，$\frac{2}{7}$，$\frac{1}{14}$；
∴各小矩形的高分別為$\frac{1}{700}$，$\frac{8}{700}$，$\frac{4}{700}$，$\frac{1}{700}$；
補(bǔ)全頻率分布直方圖，如圖所示：

利用頻率分布直方圖，計(jì)算空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測數(shù)據(jù)的平均數(shù)值為：
$\frac{1}{14}$×25+$\frac{4}{7}$×75+$\frac{2}{7}$×125+$\frac{1}{14}$×175≈92.9；
（Ⅱ）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算
$\overline{x}$=$\frac{1}{3}$×（0.5+1+1.5）=1，
$\overline{y}$=$\frac{1}{3}$×（1+2+4）=$\frac{7}{3}$，
$\sum_{i=1}^{3}$x_iy_i=0.5+2+6=8.5，
$\sum_{i=1}^{3}$${{x}_{i}}^{2}$=0.25+1+2.25=3.5，
∴回歸方程的系數(shù)為
$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n•\overline x•\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n•{{\overline x}^2}}}}$=$\frac{8.5-3×1×\frac{7}{3}}{3.5-3{×1}^{2}}$=3，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$=$\frac{7}{3}$-3×1=-$\frac{2}{3}$，
∴y關(guān)于x的回歸方程是$\stackrel{∧}{y}$=3x-$\frac{2}{3}$，
∴x=2時，$\stackrel{∧}{y}$=3×2-$\frac{2}{3}$=$\frac{16}{3}$；
即估計(jì)當(dāng)CO排放量是200ug/m³時，PM2.5的值為$\frac{16}{3}$×100ug/m³．

點(diǎn)評 本題考查了頻率分布直方圖、折線圖以及回歸直線方程的求法與應(yīng)用問題，是中檔題．