Question

1．已知$\vec a，\vec b$是夾角為60°的兩單位向量，向量$\vec c⊥\vec a，\vec c⊥\vec b$，且$|\vec c|=1$，$\vec x=2\vec a-\vec b+\vec c，\vec y=-\vec a+3\vec b-\vec c$，則$cos＜\vec x，\vec y＞$=$-\frac{{5\sqrt{2}}}{16}$．

Answer 1

分析 求出|$\overrightarrow{x}$|，|$\overrightarrow{y}$|和$\overrightarrow{x}•\overrightarrow{y}$，代入夾角公式計(jì)算．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}，\overrightarrow，\overrightarrow{c}$是單位向量，∴|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{c}$|=1，
∵$\vec a，\vec b$夾角為60°，$\vec c⊥\vec a，\vec c⊥\vec b$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|cos60°=$\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=0，$\overrightarrow•\overrightarrow{c}$=0，
∴|$\overrightarrow{x}$|²=$\overrightarrow{x}$²=（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$）²=4$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow$²+$\overrightarrow{c}$²-4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$-2$\overrightarrow•\overrightarrow{c}$=4．
|$\overrightarrow{y}$|²=$\overrightarrow{y}$²=（-$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）²=$\overrightarrow{a}$²+9$\overrightarrow$²+$\overrightarrow{c}$²-6$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$-6$\overrightarrow•\overrightarrow{c}$=8．
∴|$\overrightarrow{x}$|=2，|$\overrightarrow{y}$|=2$\sqrt{2}$．
$\overrightarrow{x}•\overrightarrow{y}$=（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$）•（-$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）=-2$\overrightarrow{a}$²-3$\overrightarrow$²-$\overrightarrow{c}$²+7$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+4$\overrightarrow•\overrightarrow{c}$-3$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=-$\frac{5}{2}$，
∴$cos＜\vec x，\vec y＞$=$\frac{\overrightarrow{x}•\overrightarrow{y}}{|\overrightarrow{x}|•|\overrightarrow{y|}}$=$\frac{-\frac{5}{2}}{4\sqrt{2}}$=-$\frac{5\sqrt{2}}{16}$．
故答案為-$\frac{5\sqrt{2}}{16}$．

點(diǎn)評 本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題．