Question

11．已知△ABC中，AC=2，AB=4，點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AC}$+y$\overrightarrow{AB}$，x+2y=1（x≥0，y≥0），且|$\overrightarrow{AP}$|的最小值為$\sqrt{3}$，則$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）的最小值=-$\frac{25}{8}$．

Answer 1

分析 取線段AB的中點(diǎn)H，由向量共線定理，可得P在線段CH上，運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)可得P在中線CH上，求得BC，以C為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，AC所在直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，可得A（0，2），B（-2$\sqrt{3}$，0），C（0，0），H（-$\sqrt{3}$，1），可得直線CH的方程，設(shè)出P的坐標(biāo)，求得向量PA，PB，PC的坐標(biāo)，運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合二次函數(shù)的最值求法，可得最小值．

解答 解：由$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AC}$+y$\overrightarrow{AB}$，x+2y=1，（x≥0，y≥0），
可得$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AC}$+2y•$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$，
取線段AB的中點(diǎn)H，由向量共線定理，可得P在線段CH上，
由AH=AC=2，可得P為CH的中點(diǎn)時(shí)，即有AP⊥CH，
此時(shí)AP的長(zhǎng)取得最小值$\sqrt{3}$，可得CH=2，
在△ABC中，AB=4，AC=2，∠BAC=60°，
由余弦定理可得BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos60°
=16+4-2×4×2×$\frac{1}{2}$=12，
即有BC=2$\sqrt{3}$，
以C為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，AC所在直線為y軸，
建立直角坐標(biāo)系，
可得A（0，2），B（-2$\sqrt{3}$，0），C（0，0），H（-$\sqrt{3}$，1），
直線CH的方程為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，可設(shè)P（m，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m），m≤0，
則$\overrightarrow{PA}$=（-m，2+$\frac{\sqrt{3}}{3}$m），$\overrightarrow{PB}$=（-2$\sqrt{3}$-m，$\frac{\sqrt{3}}{3}$m），$\overrightarrow{PC}$=（-m，$\frac{\sqrt{3}}{3}$m），
可得$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）=（-m，2+$\frac{\sqrt{3}}{3}$m）•（-2$\sqrt{3}$-2m，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m）
=2$\sqrt{3}$m+2m²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$m+$\frac{2}{3}$m²=$\frac{8}{3}$m²+$\frac{10\sqrt{3}}{3}$m
=$\frac{8}{3}$（m+$\frac{5\sqrt{3}}{8}$）²-$\frac{25}{8}$．
當(dāng)m=-$\frac{5\sqrt{3}}{8}$時(shí)，取得最小值-$\frac{25}{8}$．
故答案為：-$\frac{25}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量數(shù)量積的最值的求法，注意轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值求法，同時(shí)考查向量共線定理和化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．