Question

4．已知公差不為零的等差數(shù)列{a_n}，滿(mǎn)足a₁+a₃+a₅=9，且a₁，a₄，a₁₆成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}{a_{n+2}}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a₁+a₃+a₅=9可得a₃=3，再由等比數(shù)列知（3+d）²=（3-2d）（3+13d），從而解得；
（II）由（Ⅰ）得${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}{a_{n+2}}}}=\frac{1}{n•（n+1）•（n+2）}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{n•（n+1）}-\frac{1}{（n+1）•（n+2）}}）$，從而利用裂項(xiàng)求和法求得．

解答 解：（Ⅰ）∵a₁+a₃+a₅=9，
∴3a₃=9，∴a₃=3．
∵a₁，a₄，a₁₆成等比數(shù)列，
∴${a_4}^2={a_1}{a_{16}}$，
∴（3+d）²=（3-2d）（3+13d），∵d≠0，
∴d=1，
∴a_n=a₃+（n-3）d=3+（n-3）=n；
（II）由（Ⅰ）得，${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}{a_{n+2}}}}=\frac{1}{n•（n+1）•（n+2）}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{n•（n+1）}-\frac{1}{（n+1）•（n+2）}}）$，
∴${S_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=\frac{1}{2}[{（{\frac{1}{1×2}-\frac{1}{2×3}}）+（{\frac{1}{2×3}-\frac{1}{3×4}}）+…+（{\frac{1}{n•（n+1）}-\frac{1}{（n+1）•（n+2）}}）}]$
=$\frac{1}{2}[{\frac{1}{2}-\frac{1}{（n+1）•（n+2）}}]=\frac{1}{4}-\frac{1}{2（n+1）•（n+2）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列與等比差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用及裂項(xiàng)求和法的應(yīng)用，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．