Question

15．已知AB是圓C：（x-1）²+y²=1的直徑，點(diǎn)P為直線x-y+1=0上任意一點(diǎn)，則$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最小值是（　�。�

• A． $\sqrt{2}$-1
• B． $\sqrt{2}$
• C． 0
• D． 1

Answer 1

分析 運(yùn)用向量加減運(yùn)算和數(shù)量積的性質(zhì)，可得$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（$\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CA}$）•（$\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CB}$）=${\overrightarrow{PC}}^{2}+\overrightarrow{PC}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）+\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$=$|\overrightarrow{PC}{|}^{2}-{r}^{2}$，即為d²-r²，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，可得d的最小值，進(jìn)而得到結(jié)論．

解答 解：由$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（$\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CA}$）•（$\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CB}$）
=${\overrightarrow{PC}}^{2}+\overrightarrow{PC}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）+\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$=$|\overrightarrow{PC}{|}^{2}-{r}^{2}$，
即為d²-r²，其中d為圓心到直線上點(diǎn)的距離，r為半徑，
因此當(dāng)d取最小值時(shí)，$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的取值最小，
可知d的最小值為$\frac{|1-0+1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，
故$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最小值為2-1=1．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算，注意運(yùn)用向量的平方即為模的平方，以及點(diǎn)到直線的距離公式，屬于中檔題．