Question

5．已知二次函數(shù)y=f（x）的最小值等于4，且f（0）=f（2）=6．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）-kx，且函數(shù)g（x）在區(qū)間[1，2]上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)h（x）=f（2^x），求當(dāng)x∈[-1，2]時，函數(shù)h（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，得出f（x）的對稱軸，頂點坐標(biāo)，從而求出解析式；
（2）求出函數(shù)的對稱軸，函數(shù)g（x）在區(qū)間[1，2]上是單調(diào)函數(shù)，得到關(guān)于k的不等式解得即可；
（3）利用換元法求出h（x）的解析式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)的值域．

解答 解：（1）∵f（0）=f（2）=6，
∴對稱軸為x=1，
設(shè)f（x）=a（x-1）²+4，
∴f（0）=a（0-1）²+4，
∴a=2，
∴f（x）=2（x-1）²+4=2x²-4x+6；
（2）函數(shù)g（x）=2x²-（k+4）x+6，其對稱軸方程為：$x=\frac{k+4}{4}$
∵函數(shù)g（x）在區(qū)間[1，2]上是單調(diào)函數(shù)，
∴$\frac{k+4}{4}≤1或\frac{k+4}{4}≥2$
∴k≤0或k≥4；
（3）令$t={2^x}∈[{\frac{1}{2}，4}]$，則h（x）=H（t）=2t²-4t+6=2（t-1）²+4
當(dāng)$t∈[{\frac{1}{2}，1}]$時，H（t）單調(diào)遞減，當(dāng)t∈[1，4]時，H（t）單調(diào)遞增，H（t）_min=H（1）=4
又$H（{\frac{1}{2}}）＜H（4）=22$，所以H（t）_max=H（4）=22，
∴當(dāng)x∈[-1，2]時，函數(shù)h（x）的值域[4，22]．

點評 本題考查了求函數(shù)的解析式與值域的問題，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出值域，是中檔題．