Question

7．已知圓O的半徑為1，A，B是圓上的兩點(diǎn)，且∠AOB=$\frac{π}{3}$，MN是圓O的任意一條直徑，若點(diǎn)C滿足$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$（λ∈R），則$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$的最小值為-$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由題意可得$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$=（$\overrightarrow{CO}$+$\overrightarrow{OM}$）•（$\overrightarrow{CO}$+$\overrightarrow{ON}$）=${\overrightarrow{CO}}^{2}$-1，由點(diǎn)C在直線AB上，則當(dāng)C在AB中點(diǎn)時(shí)候，OC⊥AB，OC最小為等邊三角形AOB的高，從而求得$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$的最小值．

解答 解：由題意可得$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$=（$\overrightarrow{CO}$+$\overrightarrow{OM}$）•（$\overrightarrow{CO}$+$\overrightarrow{ON}$）=${\overrightarrow{CO}}^{2}$+$\overrightarrow{CO}$•（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$）+$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$，
∵M(jìn)N是圓O的任意一條直徑，∴$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=-1，
∴$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$=${\overrightarrow{CO}}^{2}$+0-1=${\overrightarrow{CO}}^{2}$-1．
要求$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$的最小值問(wèn)題就是求${\overrightarrow{CO}}^{2}$的最小值，
由于$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$（λ∈R），故點(diǎn)C在直線AB上，則當(dāng)C在AB中點(diǎn)時(shí)候，
OC⊥AB，OC最小為等邊三角形AOB的高線，為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，此時(shí)${\overrightarrow{CO}}^{2}$=$\frac{3}{4}$，
故$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$的最小值為${\overrightarrow{CO}}^{2}$-1=-$\frac{1}{4}$，
故答案為：-$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬于中檔題．