Question

8．已知直線l過(guò)拋物線E：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F且與x垂直，l與E所圍成的封閉圖形的面積為24，若點(diǎn)P為拋物線E上任意一點(diǎn)，A（4，1），則|PA|+|PF|的最小值為（　　）

• A． 6
• B． 4+2$\sqrt{2}$
• C． 7
• D． 4+2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用l與E所圍成的封閉圖形的面積為24，求出p，設(shè)點(diǎn)P在準(zhǔn)線上的射影為D，則根據(jù)拋物線的定義可知|PF|=|PD|進(jìn)而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求|PA|+|PD|取得最小，進(jìn)而可推斷出當(dāng)D，P，A三點(diǎn)共線時(shí)|PA|+|PD|最小，答案可得．

解答 解：由拋物線E：y²=2px（p＞0），可得y=$\sqrt{2px}$，
由拋物線E：y²=2px（p＞0），x=$\frac{p}{2}$，可得y=±p，
∴l(xiāng)與E所圍成的封閉圖形的面積S=2${∫}_{0}^{\frac{p}{2}}\sqrt{2px}$dx=2×$\frac{2}{3}•（2px）^{\frac{3}{2}}$•$\frac{1}{2p}$${|}_{0}^{\frac{p}{2}}$=24，
∴p=6，
∴y²=12x，
拋物線C：y²=12x的準(zhǔn)線為x=-3．
設(shè)點(diǎn)P在準(zhǔn)線上的射影為D，
則根據(jù)拋物線的定義可知|PF|=|PD|，
要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最�。�
當(dāng)D，P，A三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|+|PD|最小，為4-（-3）=7．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，判斷當(dāng)D，P，A三點(diǎn)共線時(shí)|PA|+|PD|最小，是解題的關(guān)鍵．