Question

4．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a+c=16．其外接圓的直徑為12，且b+24cosB=24，則△ABC面積的最大值為$\frac{128}{5}$．

Answer 1

分析 利用正弦定理及條件b+24cosB=24，可得2（1-cosB）=sinB，再利用平方關(guān)系，從而可求得cosB，進而可求sinB，a+c=16，利用面積公式表示面積，借助于基本不等式可求△ABC的面積的最大值．

解答 解：∵外接圓的直徑為12，b+24cosB=24，可得：24=$\frac{1-cosB}$=$\frac{12sinB}{1-cosB}$，
∴2（1-cosB）=sinB，…（3分）
∴4（1-cosB）²=sin²B=（1-cosB）（1+cosB），
∵1-cosB≠0，
∴4（1-cosB）=1+cosB，
∴cosB=$\frac{3}{5}$，（6分）
∴sinB=$\frac{4}{5}$．（8分）
∵a+c=16．
∴S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{2}{5}$ac≤$\frac{2}{5}$（$\frac{a+c}{2}$）²=$\frac{128}{5}$．（10分）
當且僅當a=c=8時，S_max=$\frac{128}{5}$．
故答案為：$\frac{128}{5}$．（12分）

點評 本題以三角形為載體，考查正弦定理的運用，考查基本不等式，關(guān)鍵是邊角之間的互化，屬于中檔題．