Question

16．已知平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$，滿足|$\overrightarrow{c}$|=4，$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=4，$\overrightarrow•\overrightarrow{c}$=2，則|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|的最小值為$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由題意可設(shè)$\overrightarrow{a}$=（a，0），$\overrightarrow$=（0，b），$\overrightarrow{c}$=（m，n），可得m²+n²=16，m=$\frac{4}{a}$，n=$\frac{2}$，即為$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=4，運用乘1法，可得a²+b²=$\frac{1}{4}$（a²+b²）（$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$）=$\frac{1}{4}$（5+$\frac{4^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$），再由基本不等式可得所求模的最小值．

解答 解：由題意可設(shè)$\overrightarrow{a}$=（a，0），$\overrightarrow$=（0，b），
$\overrightarrow{c}$=（m，n），可得m²+n²=16，
$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=4，$\overrightarrow•\overrightarrow{c}$=2，可得ma=4，nb=2，
即有m=$\frac{4}{a}$，n=$\frac{2}$，
即為$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=4，
可得a²+b²=$\frac{1}{4}$（a²+b²）（$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$）=$\frac{1}{4}$（5+$\frac{4^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$）
≥$\frac{1}{4}$（5+2$\sqrt{\frac{4^{2}}{{a}^{2}}•\frac{{a}^{2}}{^{2}}}$）=$\frac{9}{4}$．
當(dāng)且僅當(dāng)|a|=2|b|時，取得最小值$\frac{9}{4}$，
即有|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，
可得|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|的最小值為$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查向量的模的最值的求法，考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，以及基本不等式的運用，注意運用乘1法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．