Question

19．命題p：“關(guān)于x的方程x²+ax+1=0有解”，命題q：“?x∈R，e^2x-2ex+a≥0恒成立”，若“p∧q”為真，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 若p為真，可得△≥0，解得a范圍．若q為真，令h（x）=e^2x-2ex+a，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值，即可得出，a的取值范圍．由“p∧q”為真，可得p為真且q為真．

解答 解：若p為真，則△=a²-4≥0，故a≤-2或a≥2．
若q為真，則令h（x）=e^2x-2ex+a，則h′（x）=2e^2x-2e=2e（e^2x-1-1），
令h′（x）＜0，則$x＜\frac{1}{2}$，∴h（x）在$（-∞，\frac{1}{2}）$上單調(diào)遞減；
令h′（x）＞0，則x$＞\frac{1}{2}$，∴h（x）在$（\frac{1}{2}，+∞）$上單調(diào)遞增．∴當(dāng)$x=\frac{1}{2}$時，h（x）有最小值，
$h{（x）_{min}}=h（\frac{1}{2}）=e-e+a=a$．
∵?x∈R，h（x）≥0恒成立，∴a≥0．
∵“p∧q”為真，∴p為真且q為真．∴$\left\{\begin{array}{l}a≤-2或a≥2\\ a≥0\end{array}\right.$，解得a≥2．
從而所求實數(shù)a的取值范圍為[2，+∞）．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關(guān)系、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．