Question

18．橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的左焦點(diǎn)為F₁，點(diǎn)P在橢圓上，如果線段PF₁的中點(diǎn)M在y軸正半軸上，那么以線段F₁P為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²+（y-$\frac{3}{2}$）²=$\frac{25}{4}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)中位線定理可推斷出PF₂垂直于x軸，根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出焦距，進(jìn)而設(shè)|PF₁|=t，根據(jù)勾股定理求得t和|PF₂|，可得M的坐標(biāo)，可得所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：∵O是F₁F₂的中點(diǎn)，M為PF₁的中點(diǎn)，
∴PF₂平行于y軸，即PF₂垂直于x軸，
∵c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{16-12}$=2，
∴|F₁F₂|=4
設(shè)|PF₁|=t，根據(jù)橢圓定義可知|PF₂|=8-t，
∴（8-t）²+16=t²，解得t=5，
∴|PF₂|=3，
可得M（0，$\frac{3}{2}$），|PM|=$\frac{5}{2}$，
即有所求圓的方程為x²+（y-$\frac{3}{2}$）²=$\frac{25}{4}$．
故答案為：x²+（y-$\frac{3}{2}$）²=$\frac{25}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義和方程的運(yùn)用，考查圓的方程的求法，注意運(yùn)用中位線定理和橢圓的定義，屬于中檔題．