【題目】如圖，在四棱柱中，平面，底面是矩形，，，，為棱的中點.

（1）求直線與平面所成角的正弦值；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）建立空間直角坐標系，算出和平面的法向量的坐標，然后向量夾角公式可算出答案；

（2）算出平面的法向量的坐標，然后利用向量夾角公式可算出答案.

由題意知，四棱柱是直四棱柱，以為坐標原點，，，的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，

所以，，，

，.

（1）設平面的法向量為，

所以即

令，則，所以為平面的一個法向量，

故，

所以直線與平面所成角的正弦值為.

（2）設平面的法向量為，

則即

令，則，所以為平面的一個法向量.

故，

由圖象可知，二面角為銳二面角，

所以二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
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【題目】如圖，在多面體中，兩兩垂直，四邊形是邊長為2的正方形，ACDGEF，且.

（1）證明：平面.

（2）求二面角的余弦值.

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【題目】已知函數(shù)在處的導數(shù)為，，

（1）若不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

（2）若在上有且只有一個零點，求的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù)，若在處的切線為．

（Ⅰ）求實數(shù)，的值；

（Ⅱ）若不等式對任意恒成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）設其中，證明：

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【題目】如圖，在三棱柱中，，D，E分別是的中點.

（1）求證：DE∥平面

（2）若，求證：平面平面.

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【題目】已知項數(shù)為的數(shù)列滿足條件：①；②；若數(shù)列滿足，則稱為數(shù)列的“關聯(lián)數(shù)列.

（1）數(shù)列1，5，9，13，17是否存在“關聯(lián)數(shù)列”？若存在，寫出其“關聯(lián)數(shù)列”，若不存在，請說明理由；

（2）若數(shù)列存在“關聯(lián)數(shù)列”，證明：；

（3）已知數(shù)列存在“關聯(lián)數(shù)列”，且，，求數(shù)列項數(shù)m的最小值與最大值.

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【題目】學校藝術節(jié)對四件參賽作品只評一件一等獎，在評獎揭曉前，甲，乙，丙，丁四位同學對這四件參賽作品預測如下：

甲說：“是或作品獲得一等獎”； 乙說：“ 作品獲得一等獎”；

丙說：“ 兩件作品未獲得一等獎”； 丁說：“是作品獲得一等獎”．

評獎揭曉后，發(fā)現(xiàn)這四位同學中只有兩位說的話是對的，則獲得一等獎的作品是_________．

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【題目】如圖，圓臺的軸截面為等腰梯形，，，，圓臺的側面積為.若點C，D分別為圓，上的動點且點C，D在平面的同側.

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【題目】已知是軸上的動點（異于原點），點在圓上，且.設線段的中點為，當點移動時，記點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）當直線與圓相切于點，且點在第一象限.

（ⅰ）求直線的斜率；

（ⅱ）直線平行，交曲線于不同的兩點、.線段的中點為，直線與曲線交于兩點、，證明：.

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