Question

20．已知點(diǎn)C（x₀，y₀）是拋物線y²=4x上的動(dòng)點(diǎn)，以C為圓心的圓過(guò)該拋物線的焦點(diǎn)F，且圓C與直線x=-$\frac{1}{2}$相交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）當(dāng)|FC|=3時(shí)，求|AB|；
（Ⅱ）求|FA|•|FB|的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，運(yùn)用拋物線的定義可得x₀=2，再由圓的弦長(zhǎng)公式a=2$\sqrt{{r}^{2}-pjp11xj^{2}}$，計(jì)算即可得到所求值；
（Ⅱ）求得圓C的方程，令x=-$\frac{1}{2}$代入圓的方程可得y的二次方程，運(yùn)用判別式大于0和韋達(dá)定理，再由兩點(diǎn)的距離公式，化簡(jiǎn)整理，結(jié)合x₀≥0，即可得到所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）由拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為（1，0），準(zhǔn)線為x=-1，
由拋物線的定義可得|FC|=x₀+1=3，
解得x₀=2，
點(diǎn)C到x=-$\frac{1}{2}$的距離d=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
圓C的半徑是|FC|=3，
可得|AB|=2$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\sqrt{11}$；
（Ⅱ）拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0），
圓C的方程是${（{x-{x_0}}）^2}+{（{y-{y_0}}）^2}={（{{x_0}-1}）^2}+{y_0}^2$，
令$x=-\frac{1}{2}$，可得${y^2}-2{y_0}y+3{x_0}-\frac{3}{4}=0$，
$△=4{y_0}^2-12{x_0}+3=4{x_0}+3＞0$恒成立，
設(shè)$A（{-\frac{1}{2}，{y_1}}），B（{-\frac{1}{2}，{y_2}}）$，則y₁+y₂=2y₀，${y_1}•{y_2}=3{x_0}-\frac{3}{4}$，
因?yàn)辄c(diǎn)C（x₀，y₀）在拋物線y²=4x上，故${y_0}^2=4{x_0}$，
所以$|{FA}|•|{FB}|=\sqrt{{y_1}^2+\frac{9}{4}}•\sqrt{{y_2}^2+\frac{9}{4}}$=$\sqrt{{{（{{y_1}{y_2}}）}^2}+\frac{9}{4}（{{y_1}^2+{y_2}^2}）+\frac{81}{16}}$
=$\sqrt{{{（{3{x_0}-\frac{3}{4}}）}^2}+\frac{9}{4}[{4{y_0}^2-2（{3{x_0}-\frac{3}{4}}）}]+\frac{81}{16}}$=$\sqrt{9{x_0}^2+18{x_0}+9}=3|{{x_0}+1}|$，
因?yàn)閤₀≥0，所以|FA|•|FB|∈[3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，直線和圓相交的弦長(zhǎng)公式的運(yùn)用，考查圓方程的運(yùn)用和兩點(diǎn)的距離公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．