Question

5．已知函數(shù)f（x）=[x³+（a-1）x²-ax+a]e^x，若x=0是f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（2，+∞）．

Answer 1

分析 求導(dǎo)數(shù)得到f′（x）=-x[x²+（2+a）x+a-2]e^x，容易判斷方程x²+（2+a）x+a-2=0有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，并設(shè)g（x）=x²+（2+a）x+a-2，根據(jù)題意便可得到g（0）＞0，從而便可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：解：f′（x）=-x[x²+（2+a）x+a-2]e^x；
令x²+（2+a）x+a-2=0，則△=a²+12＞0；
設(shè)g（x）=x²+（2+a）x+a-2，∵x=0是f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)；
∴g（0）＞0；
即a-2＞0；
∴a＞2；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（2，+∞）．
故答案為：（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)極大值點(diǎn)的定義，以及根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)極大值點(diǎn)的方法和過(guò)程，一元二次方程的根的情況和判別式△取值的關(guān)系，要熟悉二次函數(shù)的圖象．