Question

15．設(shè)F為拋物線y²=4x的焦點(diǎn)，A，B，C為該拋物線上不同的三點(diǎn)，$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{0}$，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且△OFA、△OFB、△OFC的面積分別為S₁、S₂、S₃，則S₁²+S₂²+S₃²=（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 6
• D． 9

Answer 1

分析 確定拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，求出S₁²+S₂²+S₃²，利用點(diǎn)F是△ABC的重心，即可求得結(jié)論．

解答 解：設(shè)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），則
∵拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0）
∴S₁=$\frac{1}{2}$|y₁|，S₂=$\frac{1}{2}$|y₂|，S₃=$\frac{1}{2}$|y₃|，
∴S₁²+S₂²+S₃²=$\frac{1}{4}$（y₁²+y₂²+y₃²）=x₁+x₂+x₃，
∵$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{0}$，∴點(diǎn)F是△ABC的重心
∴x₁+x₂+x₃=3
∴S₁²+S₂²+S₃²=3
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義，考查三角形重心的性質(zhì)，屬于中檔題．