已知函數(shù)

(Ⅰ)設(shè),求的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ) 設(shè),且對于任意,.試比較的大小.

 

【答案】

(Ⅰ) 單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是 

(Ⅱ)

【解析】(Ⅰ)由

(1)當(dāng)時,

(i)若,當(dāng)時,恒成立,

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.

(ii)若,當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞減,

當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增.

所以的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是

(2)當(dāng)時,令,

顯然

當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞減;

當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增.

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,

單調(diào)遞增區(qū)間是.

(Ⅱ)由題意知函數(shù)處取得最小值,

由(I)知的唯一極小值點,

,整理得,

當(dāng)時,,單調(diào)遞增;

當(dāng)時,,單調(diào)遞減.

因此

,即

【考點定位】本題考查導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性和相關(guān)函數(shù)值的大小比較,考查分類討論思想、推理論證能力和運算求解能力.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間判斷必然通過導(dǎo)數(shù)方法來解決,伴隨而來的是關(guān)于的分類討論.比較的大小時要根據(jù)已知條件和第一問的知識儲備,構(gòu)造新的函數(shù)利用單調(diào)性直接運算函數(shù)值得到結(jié)論.本題具備導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的特征,必然按照程序化運行,即求導(dǎo)、關(guān)于參數(shù)分類討論、確定單調(diào)區(qū)間等步驟進(jìn)行.而第二問則是在第一問的基礎(chǔ)上進(jìn)一步挖掘解題素材,如隱含條件的發(fā)現(xiàn)、新函數(shù)的構(gòu)造等,都為解決問題提供了有力支持.

 

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(1)  設(shè),求函數(shù)的極值;

(2)  若,且當(dāng)時,12a恒成立,試確定的取值范圍.

 

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