Question

15．等差數(shù)列{a_n}中，d＜0．
（1）若|a₃|=|a₉|，則數(shù)列{a_n}的前幾項的和最大？
（2）若S_m=S_k，則數(shù)列{a_n}的前幾項的和最大？

Answer 1

分析 （1）由題意：d＜0，|a₃|=|a₉|，得：a₃=-a₉．
（2）需要對m和k的值進行討論．

解答 解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}中，d＜0，且|a₃|=|a₉|，可得a₁+a₁₁=a₃+a₉=0，
∴${s}_{11}=\frac{11（{a}_{1}+{a}_{11}）}{2}=\frac{11（{a}_{3}+{a}_{9}）}{2}=0$，
由于等差數(shù)列的前n項和S_n是關(guān)于n的二次函數(shù)，它的圖象開口向下，對稱軸為n=5.5，
和橫軸有2個交點（0，0）、（11，0），如圖所示：
所以當n=5或n=6時S_n取最大值．
（2）不妨設(shè) m＜k，由Sm=Sk可得：a_m+1+…+a_k=0，
分兩種情況討論：
①若m，k同為奇數(shù)，則$\frac{[（m+1+k）-1]}{2}和\frac{[（m+1+k）+1]}{2}$是兩個連續(xù)整數(shù)．
由于$\frac{[（m+1+k）-1]}{2}+\frac{[（m+1+k）+1]}{2}=m+1+k$，
從而${a}_{\frac{[（m+1+k）-1]}{2}}+{a}_{\frac{[（m+1+k）+1]}{2}}={a}_{（m+1）}+{a}_{k}=0$，
又d＜0，{a_n}是遞減的，
從而${a}_{\frac{[（m+1+k）-1]}{2}}＞0＞{a}_{\frac{[（m+1+k）+1]}{2}}$，
故前$\frac{[（m+1+k）-1]}{2}$項和最大．
②若m，k一奇一偶，則$\frac{（m+1+k）}{2}$為整數(shù)，
于是${a}_{（m+1）}+{a}_{k}=2\frac{{a}_{（m+1+k）}}{2}=0$，
此時，前$\frac{（m-1+k）}{2}與\frac{（m+1+k）}{2}$項的和相等且最大．
故前$\frac{（m-1+k）}{2}與\frac{（m+1+k）}{2}$項的和最大．

點評 等差數(shù)列的前n項和是一個常數(shù)項為零的二次函數(shù)形式，所以具有對稱性，根據(jù)對稱性可輕松解決此類問題．