Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$不共線，向量$\overrightarrow{m}$=λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{a}$+$μ\overrightarrow$平行，且|$\overrightarrow{m}$|=2|$\overrightarrow{n}$|，則λ+μ=（　�。�

• A． -$\frac{3}{2}$
• B． ±$\frac{3}{2}$
• C． $\frac{5}{2}$
• D． $±\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 以$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$為基底，用坐標表示出向量$\overrightarrow{m}$、$\overrightarrow{n}$，再根據$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$與|$\overrightarrow{m}$|=2|$\overrightarrow{n}$|，列出關于λ、μ的方程組，求解即可．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$不共線，
∴以$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$為基底，向量$\overrightarrow{m}$=λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（λ，1），
$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{a}$+$μ\overrightarrow$=（1，μ）；
又$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，
∴λμ-1=0①；
又|$\overrightarrow{m}$|=2|$\overrightarrow{n}$|，
∴$\sqrt{{λ}^{2}+1}$=2$\sqrt{1{+μ}^{2}}$②；
由①②組成方程組，解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=2}\\{μ=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{λ=-2}\\{μ=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；
當λ=2，μ=$\frac{1}{2}$時，λ+μ=$\frac{5}{2}$；
當λ=-2，μ=-$\frac{1}{2}$時，λ+μ=-$\frac{5}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查了平面向量的坐標表示與應用問題，也考查了向量的平行與模長的應用問題，是基礎題目．