Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（2-4a）x+3a，x＜0}\\{{log}_{a}（x+1），x≥0}\end{array}\right.（a＞0，a≠1）$在R上單調(diào)遞減，且方程|f（x）|=2有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]．

Answer 1

分析 由減函數(shù)可知f（x）在兩段上均為減函數(shù)，且在第一段的最小值大于或等于第二段上的最大值，根據(jù)交點個數(shù)判斷3a與2的大小關(guān)系，列出不等式組解出．

解答 解：∵f（x）是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，
∴y=x²+（2-4a）x+3a在（-∞，0）上單調(diào)遞減，y=log_a（x+1）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
且f（x）在（-∞，0）上的最小值大于或等于f（0）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a-1≥0}\\{0＜a＜1}\\{3a≥0}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}$≤a≤1．
∵方程|f（x）|=2有兩個不相等的實數(shù)根，
∴3a≤2，即a≤$\frac{2}{3}$．
綜上，$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{2}{3}$．
故答案為[$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]．

點評 本題考查了分段函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)零點的個數(shù)判斷，判斷端點值的大小是關(guān)鍵，屬于中檔題．