Question

19．已知x，y∈R，向量$\overrightarrow{a}$=$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$使二階矩陣A=$[\begin{array}{l}{a}&{2}\\&{4}\end{array}]$的屬于特征值3的一個特征向量，求直線l：2x-y-3=0在矩陣A對應的變換作用下得到的直線l′的方程．

Answer 1

分析 利用特征值與特征向量的定義，建立方程，求出a，b，即可求矩陣A，設l上點P（x，y）在A的作用下得到直線l′上一點P′（x′，y′），進一步求得x′，y′與x，y的關系，代入直線方程得答案．

解答 解：由題意，$[\begin{array}{l}{a}&{2}\\&{4}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$=3$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$，∴$\left\{\begin{array}{l}{a+2=3}\\{b+4=3}\end{array}\right.$，
∴a=1，b=-1，
∴A=$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{-1}&{4}\end{array}]$，
設l上點P（x，y）在A的作用下得到直線l′上一點P′（x′，y′），
則$\left\{\begin{array}{l}{x′=x+2y}\\{y′=-x+4y}\end{array}\right.$，∴x=$\frac{1}{3}$（2x′-y′），y=$\frac{1}{6}$（x′+y′），
代入直線l的方程，化簡得7x′-5y′-18=0，
即直線l′的方程為7x-5y-18=0．

點評 本題主要考查矩陣與變換、曲線在矩陣變換下的曲線的方程，考查運算求解能力及化歸與轉化思想，是基礎題．