【題目】如圖所示,平面平面,四邊形是邊長為4的正方形,,,分別是,的中點.
(1)求證:平面;
(2)若直線與平面所成角等于,求二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)利用平行四邊形判定法則,證明CN平行ME,然后結(jié)合直線與平面平行判定,即可。(2)建立直角坐標(biāo)系,分別計算兩平面的法向量,然后結(jié)合向量數(shù)量積,即可。
(1)取線段中點,連結(jié),,因為,分別是、的中點,所以
且,
正方形中,是的中點.所以且,
所以且,
故四邊形為平行四邊形,
從而,
又因為平面,平面,所以平面.
(2)過作于,
因為平面平面,平面平面,平面,
所以平面,
又平面,從而為直線在平面內(nèi)的射影,
故為直線與平面所成角,所以.
如圖,以為坐標(biāo)原點,分別以過點且平行于的直線、,所在的直線
為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,
,,.
設(shè),分別為平面和的法向量,
則,即,
令得,
,即,令得,
,
所以二面角的余弦值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某車間租賃甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn)A,B兩類產(chǎn)品,甲種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品8件和B類產(chǎn)品15件,乙種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品10件和B類產(chǎn)品25件,已知設(shè)備甲每天的租賃費300元,設(shè)備乙每天的租賃費400元,現(xiàn)車間至少要生產(chǎn)A類產(chǎn)品100件,B類產(chǎn)品200件,所需租賃費最少為__元
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為節(jié)能環(huán)保,推進新能源汽車推廣和應(yīng)用,對購買純電動汽車的用戶進行財政補貼,財政補貼由地方財政補貼和國家財政補貼兩部分組成. 某地補貼政策如下(表示純電續(xù)航里程):
有三個純電動汽車店分別銷售不同品牌的純電動汽車,在一個月內(nèi)它們的銷售情況如下:
(每位客戶只能購買一輛純電動汽車)
(1)從上述購買純電動汽車的客戶中隨機選一人,求此人購買的是店純電動汽車且享受補貼不低于3.5萬元的概率;
(2)從上述兩個純電動汽車店的客戶中各隨機選一人,求恰有一人享受5萬元財政補貼的概率;
(3)從上述三個純電動汽車店的客戶中各隨機選一人, 這3個人享受的財政補貼分別記為. 求隨機變量的分布列. 試比較數(shù)學(xué)期望的大;比較方差 的大小. (只需寫出結(jié)論)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:過點,且一個焦點坐標(biāo)為.
(Ⅰ)求橢圓的方程及離心率;
(Ⅱ)過點且與x軸不垂直的直線與橢圓C交于兩點,若在線段上存在點,使得以MP, MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形,求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某高校共有學(xué)生15000人,其中男生10500人,女生4500人.為調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育運動時間的情況,采用分層抽樣的方法,收集200位學(xué)生每周平均體育運動時間的樣本數(shù)據(jù)(單位:小時).
(1)應(yīng)收集多少位女生的樣本數(shù)據(jù)?
(2)根據(jù)這200個樣本數(shù)據(jù),得到學(xué)生每周平均體育運動時間的頻率分布直方圖,其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為:,,,,,.估計該校學(xué)生每周平均體育運動時間超過4小時的概率.
(3)在樣本數(shù)據(jù)中,有40位女生的每周平均體育運動時間超過4小時,請完成每周平均體育運動時間與性別列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運動時間與性別有關(guān)”.(把表簡要畫在答題卡上)
男生 | 女生 | 總計 | |
每周平均體育運動時間不超過4小時 | |||
每周平均體育運動時間超過4小時 | |||
總計 |
附:
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】雙曲線C的漸近線方程為,一個焦點為F(0,﹣8),則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_____.已知點A(﹣6,0),若點P為C上一動點,且P點在x軸上方,當(dāng)點P的位置變化時,△PAF的周長的最小值為_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若,令,若,是的兩個極值點,且,求正實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】洛薩科拉茨Collatz,是德國數(shù)學(xué)家,他在1937年提出了一個著名的猜想:任給一個正整數(shù)n,如果n是偶數(shù),就將它減半即;如果n是奇數(shù),則將它乘3加即,不斷重復(fù)這樣的運算,經(jīng)過有限步后,一定可以得到如初始正整數(shù)為6,按照上述變換規(guī)則,我們得到一個數(shù)列:6,3,10,5,16,8,4,2,對科拉茨猜想,目前誰也不能證明,更不能否定現(xiàn)在請你研究:如果對正整數(shù)首項按照上述規(guī)則施行變換注:1可以多次出現(xiàn)后的第八項為1,則n的所有可能的取值為______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中.
(1)討論的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時,證明:;
(3)試比較與 ,并證明你的結(jié)論。
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