Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若，令，若，是的兩個極值點(diǎn)，且，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）t .

【解析】

（Ⅰ）求出，對的正負(fù)分類即可求解。

（Ⅱ）整理并求出，由有兩個極值點(diǎn)可得，又，是的兩個極值點(diǎn)可得或；整理并換元得，把問題轉(zhuǎn)化為成立問題，其中，分類后利用函數(shù)的單調(diào)性即可解決問題。

（Ⅰ）由， ，則

當(dāng)時，則，故在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，令，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。

（Ⅱ），

故，當(dāng)時，恒成立，故在上單調(diào)遞減，不滿足有兩個極值點(diǎn)，故。

令，得,，

又有兩個極值點(diǎn)；故有兩個根。

故且或；

且為極小值點(diǎn)，為極大值點(diǎn)。

故

令，由或得

令，

當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，故，則時成立；

當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，故，則時；

綜上所述：