Question

13．（1）已知對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)a和b，不等式|3a+b|+|a-b|≥|a|（|x-1|+|x+1|）恒成立，試求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（2）已知不等式|2x-1|＜1的解集為M，若a，b∈M，試比較$\frac{1}{ab}$+1與$\frac{1}{a}+\frac{1}$的大小．（并說(shuō)明理由）

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用絕對(duì)值不等式的幾何意義推出|3a+b|+|a-b|≥4|a|，轉(zhuǎn)化所求解不等式為|x+1|+|x-1|≤4，推出結(jié)果即可．
（Ⅱ）利用作差法，結(jié)合已知條件推出結(jié)果即可．

解答 （Ⅰ）解：|3a+b|+|a-b|≥|3a+b+a-b|=4|a|，當(dāng)且僅當(dāng)（3a+b）（a-b）≥0時(shí)取等號(hào)，
只需：4|a|≥|a|（|x+1|+|x-1|），由于a≠0，只需|x+1|+|x-1|≤4，表示數(shù)軸上的點(diǎn)與-1，1的距離之和小于等于4，
所以：x的取值范圍為：[-2，2]；
（Ⅱ）解得：M=（0，1），a∈M，b∈M知：$\frac{1}{ab}+1-\frac{1}{a}-\frac{1}=\frac{ab+1-a-b}{ab}=\frac{（a-1）（b-1）}{ab}$＞0，
即$\frac{1}{ab}+1＞\frac{1}{a}+\frac{1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的幾何意義，不等式的解法，函數(shù)恒成立條件的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．