Question

5．如圖，三棱柱ABE-DCF中，△EAB是正三角形，四邊形ABCD是矩形，且EA=2，BC=2$\sqrt{3}$，EC=4．
（1）求證：平面EAB⊥平面ABCD；
（2）若點(diǎn)P在線段EA上，且PA=λEA（0＜λ＜1），當(dāng)三棱錐B-APD的體積為$\frac{3}{2}$時，求實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

分析 （1）依題意可得EA=EB=2，DC=2$\sqrt{3}$，EC=4，推導(dǎo)出EB⊥BC，AB⊥BC．從而BC⊥平面EAB，由此能證明平面EAB⊥平面ABCD．
（2）取AB中點(diǎn)O，過點(diǎn)P作PM∥EO交AB于點(diǎn)M，則PM⊥平面ABCD，由V_B-APD=V_P-ABD，能求出結(jié)果．

解答 證明：（1）依題意可得EA=EB=2，DC=2$\sqrt{3}$，EC=4，
∴EB²+BC²=EC²，EB⊥BC，
又四邊形ABCD是矩形，
∴AB⊥BC．
又∵AB?平面EAB，EB?平面EAB，AB∩EB=B，
∴BC⊥平面EAB，而BC?平面ABCD，
∴平面EAB⊥平面ABCD．
解：（2）依題意可得EA=AB=EB=2，取AB中點(diǎn)O，
∴EO⊥AB，且EO=$\sqrt{3}$，
又由（1）知平面EAB⊥平面ABCD，則EO⊥平面ABCD．
如圖，過點(diǎn)P作PM∥EO交AB于點(diǎn)M，則PM⊥平面ABCD，
Rt△ABD的面積為S_△ABD=$\frac{1}{2}AB•AD=2\sqrt{3}$，
$\frac{3}{2}={V_{B-APD}}={V_{P-ABD}}=\frac{1}{3}{S_{△ABD}}•PM⇒PM=\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$．
由PM∥EO得$\frac{PM}{EO}=\frac{PA}{EA}$=λ，
∴$\frac{{\frac{{3\sqrt{3}}}{4}}}{{\sqrt{3}}}=λ，解得λ=\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評 本題本題考査空間面面垂直關(guān)系判定及點(diǎn)的位置判斷，考查面面垂直的證明，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查創(chuàng)新意識、應(yīng)用意識，是中檔題．