【題目】如圖四棱錐中,底面,是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,且,,點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn).
(I)求證:平面平面;
(Ⅱ)當(dāng)線段最小時(shí),求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(I)證明見解析;(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)由底面可得.取的中點(diǎn),連接,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得,于是得到平面,根據(jù)面面垂直的判定可得所證結(jié)論.(Ⅱ)取中點(diǎn),連接,可證得,建立空間直角坐標(biāo)系.然后根據(jù)向量的共線得到點(diǎn)的坐標(biāo),再根據(jù)線段最短得到點(diǎn)的位置,進(jìn)而得到.求出平面的法向量后根據(jù)線面角與向量夾角間的關(guān)系可得所求.
(Ⅰ)證明:∵底面,底面,
∴.
取的中點(diǎn),連接,
∵是等邊三角形,,
∴,,
∴點(diǎn)共線,從而得,
又,
∴平面,
∵平面,
∴平面平面.
(Ⅱ)解:取中點(diǎn),連接,則,
∴底面,
∴兩兩垂直.
以為原點(diǎn)如圖建立空間直角坐標(biāo)系,
則,
∴,
設(shè)平面的法向量為,
由,得,
令,得.
設(shè),則,
∴,
∴當(dāng)時(shí),有最小值,且,此時(shí).
設(shè)直線與平面所成角為,
則,
∴直線與平面所成角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某科研團(tuán)隊(duì)研發(fā)了一款快速檢測(cè)某種疾病的試劑盒.為了解該試劑盒檢測(cè)的準(zhǔn)確性,質(zhì)檢部門從某地區(qū)(人數(shù)眾多)隨機(jī)選取了位患者和位非患者,用該試劑盒分別對(duì)他們進(jìn)行檢測(cè),結(jié)果如下:
(1)從該地區(qū)患者中隨機(jī)選取一人,對(duì)其檢測(cè)一次,估計(jì)此患者檢測(cè)結(jié)果為陽性的概率;
(2)從該地區(qū)患者中隨機(jī)選取人,各檢測(cè)一次,假設(shè)每位患者的檢測(cè)結(jié)果相互獨(dú)立,以表示檢測(cè)結(jié)果為陽性的患者人數(shù),利用(1)中所得概率,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(3)假設(shè)該地區(qū)有萬人,患病率為.從該地區(qū)隨機(jī)選取一人,用該試劑盒對(duì)其檢測(cè)一次.若檢測(cè)結(jié)果為陽性,能否判斷此人患該疾病的概率超過?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直角三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上,其中A(0,1)為直角頂點(diǎn).若該三角形的面積的最大值為,則實(shí)數(shù)a的值為_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】阿基米德是古希臘偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家,對(duì)幾何學(xué)、力學(xué)等學(xué)科作出過卓越貢獻(xiàn).為調(diào)查中學(xué)生對(duì)這一偉大科學(xué)家的了解程度,某調(diào)查小組隨機(jī)抽取了某市的100名高中生,請(qǐng)他們列舉阿基米德的成就,把能列舉阿基米德成就不少于3項(xiàng)的稱為“比較了解”,少于三項(xiàng)的稱為“不太了解”.他們的調(diào)查結(jié)果如下:
0項(xiàng) | 1項(xiàng) | 2項(xiàng) | 3項(xiàng) | 4項(xiàng) | 5項(xiàng) | 5項(xiàng)以上 | |
理科生(人) | 1 | 10 | 17 | 14 | 14 | 10 | 4 |
文科生(人) | 0 | 8 | 10 | 6 | 3 | 2 | 1 |
(1)完成如下列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為,了解阿基米德與選擇文理科有關(guān)?
比較了解 | 不太了解 | 合計(jì) | |
理科生 | |||
文科生 | |||
合計(jì) |
(2)在抽取的100名高中生中,按照文理科采用分層抽樣的方法抽取10人的樣本.
(i)求抽取的文科生和理科生的人數(shù);
(ii)從10人的樣本中隨機(jī)抽取3人,用表示這3人中文科生的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考數(shù)據(jù):
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,a,c,________.(補(bǔ)充條件)
(1)求△ABC的面積;
(2)求sin(A+B).
從①b=4,②cosB,③sinA這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在上面問題中并作答.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某貧困地區(qū)共有1500戶居民,其中平原地區(qū)1050戶,山區(qū)450戶.為調(diào)查該地區(qū)2017年家庭收入情況,從而更好地實(shí)施“精準(zhǔn)扶貧”,采用分層抽樣的方法,收集了150戶家庭2017年年收入的樣本數(shù)據(jù)(單位:萬元).
(1)應(yīng)收集多少戶山區(qū)家庭的樣本數(shù)據(jù)?
(2)根據(jù)這150個(gè)樣本數(shù)據(jù),得到2017年家庭收入的頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為(0,0.5],(0.5,1],(1,1.5],(1.5,2],(2,2.5],(2.5,3].如果將頻率視為概率,估計(jì)該地區(qū)2017年家庭收入超過1.5萬元的概率;
(3)樣本數(shù)據(jù)中,有5戶山區(qū)家庭的年收入超過2萬元,請(qǐng)完成2017年家庭收入與地區(qū)的列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“該地區(qū)2017年家庭年收入與地區(qū)有關(guān)”?
超過2萬元 | 不超過2萬元 | 總計(jì) | |
平原地區(qū) | |||
山區(qū) | 5 | ||
總計(jì) |
附:
P(K2≥k0) | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2020年1月22日,國新辦發(fā)布消息:新型冠狀病毒來源于武漢一家海鮮市場(chǎng)非法銷售的野生動(dòng).專家通過全基因組比對(duì)發(fā)現(xiàn)此病毒與2003年的非典冠狀病毒以及此后的中東呼吸綜合征冠狀病毒,分別達(dá)到70%和40%的序列相似性.這種新型冠狀病毒對(duì)人們的健康生命帶來了嚴(yán)重威脅因此,某生物疫苗研究所加緊對(duì)新型冠狀病毒疫苗進(jìn)行實(shí)驗(yàn),并將某一型號(hào)疫苗用在動(dòng)物小白鼠身上進(jìn)行科研和臨床實(shí)驗(yàn),得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下:
未感染病毒 | 感染病毒 | 總計(jì) | |
未注射疫苗 | 20 | ||
注射疫苗 | 30 | ||
總計(jì) | 50 | 50 | 100 |
現(xiàn)從所有試驗(yàn)小白鼠中任取一只,取到“注射疫苗”小白鼠的概率為.
(1)求列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),,,的值;
(2)能否有99.9%把握認(rèn)為注射此種疫苗對(duì)預(yù)防新型冠狀病毒有效?
附:.
0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線過橢圓的右焦點(diǎn),且交橢圓于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)是,
(1)求橢圓的方程;
(2)過原點(diǎn)的直線l與線段AB相交(不含端點(diǎn))且交橢圓于C,D兩點(diǎn),求四邊形面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐E﹣ABCD的側(cè)棱DE與四棱錐F﹣ABCD的側(cè)棱BF都與底面ABCD垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=3,AD=4,AE=5,.
(1)證明:DF∥平面BCE.
(2)求A到平面BEDF的距離,并求四棱錐A﹣BEDF的體積.
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