Question

【題目】如圖四棱錐中，底面，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且，，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn).

（I）求證：平面平面；

（Ⅱ）當(dāng)線段最小時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（I）證明見解析；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）由底面可得．取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，于是得到平面，根據(jù)面面垂直的判定可得所證結(jié)論．（Ⅱ）取中點(diǎn)，連接，可證得，建立空間直角坐標(biāo)系．然后根據(jù)向量的共線得到點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)線段最短得到點(diǎn)的位置，進(jìn)而得到．求出平面的法向量后根據(jù)線面角與向量夾角間的關(guān)系可得所求．

（Ⅰ）證明：∵底面，底面，

∴．

取的中點(diǎn)，連接，

∵是等邊三角形，，

∴，，

∴點(diǎn)共線，從而得，

又，

∴平面，

∵平面，

∴平面平面.

（Ⅱ）解：取中點(diǎn)，連接，則，

∴底面，

∴兩兩垂直．

以為原點(diǎn)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則，

∴,

設(shè)平面的法向量為，

由，得，

令，得．

設(shè)，則，

∴，

∴當(dāng)時(shí)，有最小值，且，此時(shí)．

設(shè)直線與平面所成角為，

則，

∴直線與平面所成角的正弦值為．