Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$（a+1）x²-4（a+5）x，g（x）=5lnx+$\frac{1}{2}$ax²-x+5，其中a∈R．
（1）若函數(shù)f（x），g（x）有相同的極值點(diǎn)，求a的值；
（2）若存在兩個(gè)整數(shù)m，n，使得函數(shù)f（x），g（x）在區(qū)間（m，n）上都是減函數(shù)，求n的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x），g（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)有相同的極值點(diǎn)，求出a的值即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，結(jié)合集合的包含關(guān)系，求出n的最大值即可．

解答 解：（1）由已知得 f'（x）=x²-（a+1）x-4（a+5），
g'（x）=$\frac{5}{x}$+ax-1=$\frac{1}{x}$（ax²-x+5），
令$\left\{\begin{array}{l}{f′（x）=0，①}\\{g′（x）=0，②}\\{x＞0，③}\end{array}\right.$，
由①得x=-4或x=a+5，
由③知，只能a+5＞0，即a＞-5，
把x=a+5代入②，
解得a=0或a=-4或a=-6（舍去），
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a=0或a=-4時(shí)，函數(shù)f（x），g（x）有相同的極值點(diǎn)，
所以，a的值為0或-4；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{f′（x）＜0}\\{x＞0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{-4＜x＜a+5}\\{a+5＞0}\\{x＞0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{0＜x＜a+5}\\{a＞-5}\end{array}\right.$，
設(shè)g'（x）＜0，即ax²-x+5＜0的解集為M，及N=（0，a+5），
則由題意得區(qū)間（m，n）?M∩N，
令h（x）=ax²-x+5，
①當(dāng)a＜0時(shí)，因?yàn)閔（0）=5＞0，
故只能h（a+5）=a[（a+5）²-1]＜0，
即a＞-4或a＜-6，又因?yàn)閍＞-5，
故-4＜a＜0，此時(shí)n≤a+5＜5，
又m，n∈Z，所以m＜n≤4，
當(dāng)且僅當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{-4＜a＜0}\\{4≤a+5＜5}\\{h（3）=9a+2≤0}\end{array}\right.$，即-1≤a≤-$\frac{2}{9}$時(shí)，n可以取4，
所以，n的最大整數(shù)為4； 
②當(dāng)a=0時(shí)，M∩N=∅，不合題意； 
③當(dāng)a＞0時(shí)，因?yàn)�，h（0）=5＞0，
h（a+5）=a[（a+5）²-1]＞0，
故只能$\left\{\begin{array}{l}{0＜\frac{1}{2a}＜a+5}\\{△=1-20a＞0}\end{array}\right.$，無(wú)解，
綜上，n的最大整數(shù)為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．