Question

如圖所示是長(zhǎng)方體截去一個(gè)角后得到的幾何體，其中底面ABCD是邊長(zhǎng)為2

3

的正方形，且高BE=2，H為AG中點(diǎn)．
（1）求四棱錐E-ABCD的體積；
（2）正方形ABCD內(nèi)（包括邊界）是否存在點(diǎn)M，使三棱錐H-AMB體積是四棱錐E-ABCD體積的

1

8

？若存在，請(qǐng)指出滿足要求的點(diǎn)M的軌跡，并在圖中畫出軌跡圖形；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,軌跡方程

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）利用四棱錐體積公式，可得四棱錐E-ABCD的體積；
（2）先求出M到平面AHB的距離，再確定點(diǎn)M的軌跡．

解答： 解：（1）由題意，四棱錐E-ABCD的體積為

1

3

×2

3

×2

3

×2=8；
（2）∵H為AG中點(diǎn)，∴S_△AHB=

1

2

×2

3

×2=2

3

，
設(shè)M到平面AHB的距離為h，則
∵三棱錐H-AMB體積是四棱錐E-ABCD體積的

1

8

，
∴

1

3

×2

3

h=

1

8

×4，
∴h=

3

4

，
∴M到平面AHB的距離為

3

4

，
在AD上取點(diǎn)M，使得AM=

3

2

，在平面ABCD內(nèi)作MN∥AB，交BC于N，則MN為所求軌跡．

點(diǎn)評(píng)：本題考查棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，考查軌跡方程，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．