7.已知圓C:(x-1)2+y2=2,點(diǎn)P是圓內(nèi)的任意一點(diǎn),直線l:x-y+b=0.
(1)求點(diǎn)P在第一象限的概率;
(2)若b∈[-3,3],求直線l與圓C相交的概率.

分析 (1)設(shè)圓C與y軸的交點(diǎn)為A,B.連接CA,CB.令(x-1)2+y2=2中的x=0得y=±1,可得:∠ACB=90°,
分別求出:圓在y軸左側(cè)的弓形的面積,圓面在第一象限部分的面積,即可得出.
(2)欲使直線l與圓C相交,須滿足$\frac{|1+b|}{{\sqrt{2}}}<\sqrt{2}$,解得-3<b<1.又b∈[-3,3],利用幾何概率計(jì)算公式即可得出.

解答 解:(1)設(shè)圓C與y軸的交點(diǎn)為A,B.
連接CA,CB.令(x-1)2+y2=2中的x=0得y=±1,
∴|AB|=2,
∵$|CA|=|CB|=\sqrt{2}$,∴∠ACB=90°,
∴圓在y軸左側(cè)的弓形的面積為$\frac{1}{4}π×{(\sqrt{2})^2}-\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=\frac{π}{2}-1$,
∴圓面在第一象限部分的面積為$\frac{1}{2}π×{(\sqrt{2})^2}-\frac{1}{2}(\frac{π}{2}-1)=\frac{3π}{4}+\frac{1}{2}$.
∴點(diǎn)P在第一象限的概率$P=\frac{{\frac{3π}{4}+\frac{1}{2}}}{2π}=\frac{3}{8}+\frac{1}{4π}$.
(2)欲使直線l與圓C相交,須滿足$\frac{|1+b|}{{\sqrt{2}}}<\sqrt{2}$,
即|1+b|<2,解得-3<b<1.又∵b∈[-3,3],
∴直線l與圓C相交的概率$P=\frac{1-(-3)}{3-(-3)}=\frac{2}{3}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了幾何概率計(jì)算公式、圓的有關(guān)計(jì)算,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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