Question

定義在（0，+∞）的f（x），對(duì)（0，+∞）內(nèi)任意x，y，都滿足f（xy）=f（x）+f（y），且f（3）=1．
（1）求f（1）；
（2）若x＞1時(shí)，f（x）＞0恒成立，證明：f（x）在（0，+∞）為單調(diào)遞增函數(shù)；
（3）在（2）的條件下，解不等式f（x）+f（x-8）≤2．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)恒等式f（xy）=f（x）+f（y），賦值x=y=1，即可求得f（1）的值；
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂），令x₂=x₁•△x（△x＞1），利用恒等式轉(zhuǎn)化為-f（△x），根據(jù)x＞1時(shí)，f（x）＞0恒成立，即可得到f（x₁）-f（x₂）＜0，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，即可證明所要證明的結(jié)論；
（3）利用恒等式f（xy）=f（x）+f（y），則f（x）+f（x-8）≤2可以轉(zhuǎn)化為f（x×（x-8））≤2，再根據(jù)f（3）=1，則2=f（9），所以不等式轉(zhuǎn)化為f（x×（x-8））≤f（9），由（2）中的結(jié)論，可以列出不等式組，求解即可得到不等式f（x）+f（x-8）≤2的解集．

解答：解：（1）∵對(duì)（0，+∞）內(nèi)任意x，y，都滿足f（xy）=f（x）+f（y），
∴令x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0；
（2）證明：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
令x₂=x₁•△x（△x＞1），又對(duì)（0，+∞）內(nèi)任意x，y，都滿足f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（x₁•△x）=f（x₁）-（f（x₁）+f（△x））=-f（△x），
∵△x＞1，而x＞1時(shí)，f（x）＞0恒成立，
∴f（△x）＞0，
∴-f（△x）＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）為單調(diào)遞增函數(shù)；
（3）∵任意x，y，都滿足f（xy）=f（x）+f（y），且f（3）=1，
∴f（9）=f（3）+f（3）=2，且f（x）+f（x-8）=f（x×（x-8）），
∴原不等式可轉(zhuǎn)化為f（x×（x-8））≤f（9），
∵f（x）在（0，+∞）為單調(diào)遞增函數(shù)，
∴

x＞0 x-8＞0 x(x-8)≤9

，
得

x＞0 x＞8 -1≤x≤9

，解得8＜x≤9，
∴不等式f（x）+f（x-8）≤2的解集為{x|8＜x≤9}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查了利用賦值法求解抽象函數(shù)的函數(shù)值，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，證明函數(shù)的單調(diào)性要抓住函數(shù)單調(diào)性的定義，證明的步驟是：設(shè)值，作差，化簡(jiǎn)，定號(hào)，下結(jié)論．解決本題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)把抽象不等式化為具體不等式．屬于中檔題．