Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax+1，g（x）=e^x（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）若a=-1，求函數(shù)y=f（x）•g（x）在[-1，2]上的最大值；
（2）若a=-1，關(guān)于x的方程f（x）=k•g（x）有且僅有一個(gè)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）若對(duì)任意的x₁、x₂∈[0，2]，x₁≠x₂，不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜|g（x₁）-g（x₂）|都成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）若a=-1，則y=f（x）•g（x）=（x²-x+1）•e^x，利用導(dǎo)數(shù)法可得函數(shù)y=（x²-x+1）•e^x在區(qū)間[-1，0]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增，結(jié)合又f(-1)=

3

e

，f(2)=3e2，可得函數(shù)y=f（x）•g（x）在[-1，2]上的最大值；
（2）若a=-1，關(guān)于x的方程f（x）=k•g（x）有且僅有一個(gè)根，即k=

f(x)

g(x)

=

x2-x+1

ex

有且只有一個(gè)根，令h(x)=

x2-x+1

ex

，可得h(x)極大=h(2)=

3

e2

，h(x)極小=h(1)=

1

e

，進(jìn)而可得當(dāng)k＞

3

e2

或0＜k＜

1

e

時(shí)，k=h（x）有且只有一個(gè)根．
（3）設(shè)x₁＜x₂，因?yàn)間（x）=e^x在[0，2]單調(diào)遞增，故原不等式等價(jià)于|f（x₁）-f（x₂）|＜g（x₂）-g（x₁）在x₁、x₂∈[0，2]，且x₁＜x₂恒成立，當(dāng)a≥-（e^x+2x）恒成立時(shí)，a≥-1；當(dāng)a≤e^x-2x恒成立時(shí)，a≤2-2ln2，綜合討論結(jié)果，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）若a=-1，則y=f（x）•g（x）=（x²-x+1）•e^x，
∴y'=（x²+x）•e^x=x（x+1）e^x，
∵x∈[-1，0]時(shí)，y'＜0，x∈[0，2]時(shí)，y'＞0，
∴函數(shù)y=（x²-x+1）•e^x在區(qū)間[-1，0]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增，
又f(-1)=

3

e

，f(2)=3e2，
故函數(shù)的最大值為3e²．
（2）由題意得：k=

f(x)

g(x)

=

x2-x+1

ex

有且只有一個(gè)根，
令h(x)=

x2-x+1

ex

，則h′(x)=

-(x2-3x+2)

ex

=

-(x-1)(x-2)

ex

故h（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，（1，2）上單調(diào)遞增，（2，+∞）上單調(diào)遞減，
所以h(x)極大=h(2)=

3

e2

，h(x)極小=h(1)=

1

e

，
因?yàn)閔（x）在（2，+∞）單調(diào)遞減，且函數(shù)值恒為正，又當(dāng)x→-∞時(shí)，h（x）→+∞，
所以當(dāng)k＞

3

e2

或0＜k＜

1

e

時(shí)，k=h（x）有且只有一個(gè)根．
（3）設(shè)x₁＜x₂，因?yàn)間（x）=e^x在[0，2]單調(diào)遞增，
故原不等式等價(jià)于|f（x₁）-f（x₂）|＜g（x₂）-g（x₁）在x₁、x₂∈[0，2]，且x₁＜x₂恒成立，
所以g（x₁）-g（x₂）＜f（x₁）-f（x₂）＜g（x₂）-g（x₁）在x₁、x₂∈[0，2]，且x₁＜x₂恒成立，
即

g(x1)-f(x1)＜g(x2)-f(x2) f(x1)+g(x1)＜g(x2)+f(x2)

，在x₁、x₂∈[0，2]，且x₁＜x₂恒成立，
則函數(shù)F（x）=g（x）-f（x）和G（x）=f（x）+g（x）都在[0，2]單調(diào)遞增，
則有

G′(x)=g′(x)+f′(x)=ex+2x+a≥0 F′(x)=g′(x)-f′(x)=ex-2x-a≥0

，在[0，2]恒成立，
當(dāng)a≥-（e^x+2x）恒成立時(shí)，因?yàn)?（e^x+2x）在[0，2]單調(diào)遞減，
所以-（e^x+2x）的最大值為-1，所以a≥-1；
當(dāng)a≤e^x-2x恒成立時(shí)，因?yàn)閑^x-2x在[0，ln2]單調(diào)遞減，在[ln2，2]單調(diào)遞增，
所以e^x-2x的最小值為2-ln2，所以a≤2-2ln2，
綜上：-1≤a≤2-2ln2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)在最大值和最小值中的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的極值，運(yùn)算量大，綜合性強(qiáng)，轉(zhuǎn)化困難，屬于難題．