Question

20．已知函數(shù)f（x）=ax²+ln（x+1）．
（Ⅰ）當(dāng)a=-$\frac{1}{4}$時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）-k在[0，2]內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，不等式f（x）≤x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）判斷f（x）在[0，2]上的單調(diào)性，求出f（x）在[0，2]內(nèi)單調(diào)區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)得出k的范圍；
（II）令h（x）=f（x）-x，對(duì)a進(jìn)行討論判斷h（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性，令h_min（x）≤0即可．

解答 解：（I）a=-$\frac{1}{4}$時(shí)，f（x）=-$\frac{1}{4}$x²+ln（x+1），
f（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞）．
∴f′（x）=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{x+1}$，令f′（x）=0得x=1或x=-2（舍）．
∴當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在[0，1）上為增函數(shù)，在（1，2]上為減函數(shù)，
且f（0）=0，f（1）=ln2-$\frac{1}{4}$，f（2）=ln3-1＞0．
∵函數(shù)g（x）=f（x）-k在[0，2]內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，
∴方程f（x）=k在[0，2]上有兩解，
∴l(xiāng)n3-1≤k＜ln2-$\frac{1}{4}$．
（II）令h（x）=f（x）-x=ax²-x+ln（x+1），
則h（x）≤0在[0，+∞）上恒成立，∴h_max（x）≤0．
h′（x）=2ax+$\frac{1}{x+1}$-1，
（1）當(dāng)a≤0時(shí)，2ax≤0，$\frac{1}{x+1}-1$≤0，∴h′（x）=≤0，∴h（x）在[0，+∞）上為減函數(shù)，
∴h_max（x）=h（0）=0，符合題意．
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，令h′（x）=0，即2ax²+（2a-1）x=0，解得x=0或x=$\frac{1-2a}{2a}$=$\frac{1}{2a}$-1．
①若$\frac{1}{2a}-1$≤0，即a≥$\frac{1}{2}$時(shí)，h′（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，
∴h（x）在[0，+∞]上為增函數(shù)，∴當(dāng)x＞0時(shí)，h（x）＞h（0）=0，不符合題意．
②若$\frac{1}{2a}-1$＞0，即0＜a$＜\frac{1}{2}$時(shí)，則當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{2a}-1$）時(shí)，h′（x）＜0，當(dāng)x∈（$\frac{1}{2a}-1$，+∞）時(shí)，h′（x）＞0．
∴h（x）在[0，$\frac{1}{2a}-1$）上為減函數(shù)，在（$\frac{1}{2a}-1$，+∞）上為增函數(shù)，
且x→+∞時(shí)，h（x）→+∞，不符合題意．
綜上，a的取值范圍是（-∞，0]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與極值，函數(shù)零點(diǎn)的判斷，屬于中檔題．