Question

10．已知函數(shù)f（x）=x²-（2a+1）x+alnx（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在區(qū)間[1，2]上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）函數(shù)g（x）=（1-a）x，若?x₀∈[1，e]使得f（x₀）≥g（x₀）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上是單調(diào)函數(shù)，進行求解判斷即可，
（2）若?x₀∈[1，e]使得f（x₀）≥g（x₀）成立，轉(zhuǎn)化為f（x）≥g（x）在區(qū)間[1，e]上有解，利用參數(shù)分離法進行求解即可．

解答 解：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=2x-（2a+1）+$\frac{a}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-（2a+1）x+a}{x}$=$\frac{（2x-1）（x-a）}{x}$                         （2分）
當(dāng)導(dǎo)函數(shù)f′（x）的零點x=a落在區(qū)間（1，2）內(nèi)時，
函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上就不是單調(diào)函數(shù)，
所以實數(shù)a的取值范圍是：a≥2或a≤1；�。�6分）
（也可以轉(zhuǎn)化為恒成立問題．酌情給分．）
（2）由題意知，不等式f（x）≥g（x）在區(qū)間[1，e]上有解，
即x²-2x+a（lnx-x）≥0在區(qū)間[1，e]上有解．         （7分），
∵當(dāng)x∈[1，e]時，lnx≤1≤x（不同時取等號），
∴l(xiāng)nx-x＜0，
∴a≤$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$在區(qū)間[1，e]上有解．  （8分）
令　$h（x）=\frac{{{x^2}-2x}}{x-lnx}$，則h′（x）=$\frac{（x-1）（x+2-2lnx）}{（x-lnx）^{2}}$  （9分）
∵x∈[1，e]，∴x+2＞2≥2lnx，
∴h′（x）≥0，則h（x）單調(diào)遞增，
∴x∈[1，e]時，h（x）的最大值為h（e）=$\frac{e（e-2）}{e-1}$，（11分）
∴a≤$\frac{e（e-2）}{e-1}$  
則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，$\frac{e（e-2）}{e-1}]$（12分）
（也可以構(gòu)造函數(shù)F（x）=x²-2x+a（lnx-x），分類討論．酌情給分）

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)問題是解決本題的關(guān)鍵．