Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{3}{x-1}}&{（x≥2）}\\{|{2^x}-1|}&{（x＜2）}\end{array}}$，若函數(shù)g（x）=f（x）-k有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（0，1）．

Answer 1

分析 寫出g（x）的解析式，判斷g（x）的單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)得出g（x）在單調(diào)區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值符號(hào)，列不等式解出k的范圍．

解答 解：g（x）=f（x）-k=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{x-1}-k，x≥2}\\{{2}^{x}-1-k，0≤x＜2}\\{1-{2}^{x}-k，x＜0}\end{array}\right.$，
∴g（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)，在[0，2）上為增函數(shù)，在[2，+∞）上為減函數(shù)．
且$\underset{lim}{x→-∞}g（x）$=1-k，g（0）=-k，g（2）=3-k，$\underset{lim}{x→+∞}$g（x）=-k，
∵函數(shù)g（x）=f（x）-k有三個(gè)零點(diǎn)，且g（x）為連續(xù)函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-k＞0}\\{-k＜0}\\{3-k＞0}\end{array}\right.$，解得0＜k＜1．
故答案為（0，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，屬于中檔題．