Question

4．已知函數(shù)f（x）=asin2x+bcos2x（ab≠0），有下列四個(gè)命題：其中正確命題的序號(hào)為①③（填上所有正確命題的序號(hào)）
 ①若a=1，b=-$\sqrt{3}$，要得到函數(shù)y=f（x）的圖象，只需將函數(shù)y=2sin2x的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位；
②若a=1，b=-1，則函數(shù)y=f（x）的一個(gè)對(duì)稱中心為（$\frac{π}{4}，0}$）；
③若y=f（x）的一條對(duì)稱軸方程為x=$\frac{π}{8}$，則a=b；
④若方程asin2x+bcos2x=m的正實(shí)數(shù)根從小到大依次構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，則這個(gè)等差數(shù)列的公差為π．

Answer 1

分析 ①a=1，b=-$\sqrt{3}$時(shí)化簡(jiǎn)f（x），根據(jù)函數(shù)圖象的平移，即可得出命題正確；
②a=1，b=-1時(shí)化簡(jiǎn)f（x），計(jì)算f（$\frac{π}{4}$）的值，即可判斷（$\frac{π}{4}$，0）不是函數(shù)y=f（x）的一個(gè)對(duì)稱中心；
③當(dāng)y=f（x）的一條對(duì)稱軸方程為x=$\frac{π}{8}$時(shí)，f（$\frac{π}{8}$）=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$，由此得出a=b成立；
④舉例說明m=0時(shí)方程asin2x+bcos2x=m的正實(shí)數(shù)根從小到大依次構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，公差不為π．

解答 解：對(duì)于①，當(dāng)a=1，b=-$\sqrt{3}$時(shí)，f（x）=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）=2sin2（x-$\frac{π}{6}$），
要得到函數(shù)y=f（x）的圖象，只需將函數(shù)y=2sin2x的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，命題正確；
對(duì)于②，當(dāng)a=1，b=-1時(shí)，f（x）=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
且f（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（2×$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{4}$）=1≠0，∴（$\frac{π}{4}$，0）不是函數(shù)y=f（x）的一個(gè)對(duì)稱中心，原命題錯(cuò)誤；
對(duì)于③，當(dāng)y=f（x）的一條對(duì)稱軸方程為x=$\frac{π}{8}$時(shí)，
f（$\frac{π}{8}$）=asin$\frac{π}{4}$+bcos$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a+$\frac{\sqrt{2}}{2}$b=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$，
∴$\frac{1}{2}$（a-b）²=0，即a=b，命題正確；
對(duì)于④，當(dāng)m=0時(shí)，方程asin2x+bcos2x=m的正實(shí)數(shù)根從小到大依次構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，
此時(shí)等差數(shù)列的公差為$\frac{π}{2}$，原命題錯(cuò)誤．
綜上，正確的命題是①③．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了給出符合已知條件的三角函數(shù)表達(dá)式，判斷幾個(gè)選項(xiàng)是否正確的應(yīng)用問題，著重考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)、兩角和與差的三角函數(shù)的知識(shí)，是綜合性題目．