Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=4sin（ωx+$\frac{π}{4}$）（ω＞0）的最小正周期為π，設(shè)向量$\overrightarrow{a}$=（-1，f（x）），$\overrightarrow$=（f（-x），1），g（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（1）求函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間；
（2）求函數(shù)g（x）在區(qū)間[$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{3}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用正弦函數(shù)的周期性求得ω的值，可得f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)f（x）的增區(qū)間．
（2）由條件利用兩個向量的數(shù)量積公式求得g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)g（x）在區(qū)間[$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{3}$]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=4sin（ωx+$\frac{π}{4}$）（ω＞0）的最小正周期為$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2，
函數(shù)f（x）=4sin（2x+$\frac{π}{4}$）．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，故函數(shù)f（x）的增區(qū)間為[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z．
（2）g（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-f（-x）+f（x）=-4sin（-2x+$\frac{π}{4}$）+4sin（2x+$\frac{π}{4}$）
=-4sin（-2x）cos$\frac{π}{4}$-4cos（-2x）sin$\frac{π}{4}$+4sin2xcos$\frac{π}{4}$+4cos2xsin$\frac{π}{4}$
=8sin2xsin$\frac{π}{4}$=4$\sqrt{2}$sin2x，
∵x∈[$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{3}$]，∴2x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{2π}{3}$]，sin2x∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，故f（x）∈[4，4$\sqrt{2}$]，
故當2x=$\frac{π}{4}$時，f（x）取得最小值為4，當2x=$\frac{π}{2}$時，f（x）取得最大值為4$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．