Question

【題目】在四棱錐中，是等邊三角形，底面是直角梯形，，，是線段的中點(diǎn)，底面，已知.

（1）求二面角的正弦值；

（2）試在平面上找一點(diǎn)，使得平面.

Answer 1

【答案】（1）.（2）.

【解析】試題分析：（1）為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，即可得到 各點(diǎn)的坐標(biāo)及平面的法向量為，并求得，進(jìn)而求出平面的法向量為，即可求出，最后求出.（2）設(shè)，根據(jù)平面法向量定義得，即， ,再利用 建立方程求得，，進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo).

試題解析：

（1）因?yàn)?/span>底面，過作，則，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)?/span>軸的正半軸，

方向?yàn)?/span>軸的正半軸，方向?yàn)?/span>軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，

，

設(shè)平面的法向量為，則，

，解得，又平面的法向量為，

所以，

所以.

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?/span>平面，

所以，即，也即，，

又，，，

所以 ，

所以得，，即，

，，所以，

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.