Question

11．如圖，PA垂直圓O所在的平面，C是圓O上的點，Q為PA的中點，G為△AOC的重心，AB是圓O的直徑，且AB=2AC=2．
（Ⅰ）求證：QG∥平面PBC；
（Ⅱ）求G到平面PAC的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結OG并延長交AC于M，連結QM，QO證明平面QMO∥平面PBC，即可證明：QG∥平面PBC；
（Ⅱ）證明OM⊥平面PAC，可得GM就是G到平面PAC的距離，即可求G到平面PAC的距離．

解答 （Ⅰ）證明：如圖，連結OG并延長交AC于M，連結QM，QO．
∵G為△AOC的重心，∴M為AC的中點．
∵O為AB的中點，∴OM∥BC．
∵OM?平面PBC，BC?平面PBC，∴OM∥平面PBC．
同理QM∥平面PBC．
又OM?平面QMO，QM?平面QMO，OM∩QM=M，
∴平面QMO∥平面PBC．
∵QG?平面QMO，
∴QG∥平面PBC．…6分
（Ⅱ）解：∵AB是圓O的直徑，∴BC⊥AC．
由（Ⅰ），知OM∥BC，∴OM⊥AC．
∵PA⊥平面ABC，OM?平面ABC，∴PA⊥OM．
又PA?平面PAC，AC?平面PAC，PA∩AC=A，
∴OM⊥平面PAC，∴GM就是G到平面PAC的距離．
由已知可得，OA=OC=AC=1，
∴△AOC為正三角形，∴OM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
又G為△AOC的重心，∴GM=$\frac{1}{3}$OM=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故G到平面PAC的距離為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．…12分．

點評 本題考查線面平行的判定，考查平面與平面平行的判定與性質，考查點到平面距離的計算，屬于中檔題．