Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{a{x^2}+1}}{e^x}$（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），函數(shù)g（x）滿足g′（x）=f′（x）+2f（x），其中f′（x），g′（x）分別為函數(shù)f（x）和g（x）的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)g（x）在[-1，1]上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　　）

• A． a≤1
• B． -$\frac{1}{3}$≤a≤1
• C． a＞1
• D． a≥-$\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，從而求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造ϕ（x）=ax²+2ax+1，通過(guò)討論a的范圍結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出a的具體范圍即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{a{x^2}+1}}{e^x}$，
∴$f'（x）=\frac{{2ax{e^x}-（a{x^2}+1）{e^x}}}{{{{（{e^x}）}^2}}}=\frac{{2ax-a{x^2}-1}}{e^x}$，
∴$g'（x）=f'（x）+2f（x）=\frac{{a{x^2}+2ax+1}}{e^x}$，
∵g（x）在[-1，1]上是單調(diào)函數(shù)，
則當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，g'（x）≥0恒成立或g'（x）≤0恒成立，
又∵g'（0）=1＞0，所以當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，g'（x）≤0恒成立必定無(wú)解，
∴必有當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，g'（x）≥0恒成立，
設(shè)ϕ（x）=ax²+2ax+1，
當(dāng)a=0時(shí)，ϕ（x）=1成立；
當(dāng)a＞0時(shí)，由于ϕ（x）在[-1，1]上是單調(diào)遞增，
所以ϕ（-1）≥0得a≤1；
當(dāng)a＜0時(shí)，由于ϕ（x）在在[-1，1]上是單調(diào)遞減，
所以ϕ（1）≥0得$a≥-\frac{1}{3}$，
綜上：$-\frac{1}{3}≤a≤1$．
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．