Question

2．一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)中獲得的一組關(guān)于變量y，t之間的數(shù)據(jù)整理后得到如圖所示的散點(diǎn)圖．下列函數(shù)中可以
近視刻畫y與t之間關(guān)系的最佳選擇是（　�。�

• A． y=a^t
• B． y=log_at
• C． y=at³
• D． y=a$\sqrt{t}$

Answer 1

分析 可以判斷各選項(xiàng)中的函數(shù)的增長速度的大小關(guān)系，增長速度相近的是B和D，都顯然小于A，C的增長速度，從而來判斷B，D應(yīng)選哪個(gè)：若用y=log_at刻畫時(shí)，根據(jù)第一個(gè)點(diǎn)（2，1）容易求出a=2，從而可以判斷（4，2），（8，3），（16，4）這幾個(gè)點(diǎn)都滿足函數(shù)y=log₂t，這便說明用該函數(shù)刻畫是可以的，而同樣的方法可以說明不能用D選項(xiàng)的函數(shù)來刻畫．

解答 解：各選項(xiàng)函數(shù)的增長速度的大小關(guān)系為：y=a^t和y=at³的增長速度顯然大于$y=lo{g}_{a}t和y=a\sqrt{t}$的增長速度，現(xiàn)判斷是函數(shù)y=log_at和$y=a\sqrt{t}$中的哪一個(gè)：
（1）若用函數(shù)y=log_at刻畫：
由圖看出1=log_a2，∴a=2；
∴l(xiāng)og₂4=2，log₂8=3，log₂16=4；
顯然滿足圖形上幾點(diǎn)的坐標(biāo)；
∴用y=log_at刻畫是可以的；
（2）若用函數(shù)y=a$\sqrt{t}$刻畫：
由1=a$\sqrt{2}$得，$a=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}•\sqrt{8}=2$，而由圖看出t=8時(shí)，y=3；
∴不能用函數(shù)$y=a\sqrt{t}$來刻畫．
故選B．

點(diǎn)評 考查函數(shù)散點(diǎn)圖的概念，清楚指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長速度的關(guān)系，清楚本題各選項(xiàng)中函數(shù)的圖象，待定系數(shù)求函數(shù)解析式的方法，通過幾個(gè)特殊點(diǎn)來驗(yàn)證一個(gè)函數(shù)解析式能否來反映散點(diǎn)圖中兩個(gè)變量關(guān)系的方法．