Question

10．如圖，矩形ABCD中，AB=2AD，E為邊AB的中點(diǎn)，將△ADE沿直線DE翻折成△A₁DE．若M為線段A₁C的中點(diǎn)，則在△ADE翻折過程中，下面四個(gè)命題中正確是①④．（填序號(hào)即可）
①|(zhì)BM|是定值；
②總有CA₁⊥平面A₁DE成立；
③存在某個(gè)位置，使DE⊥A₁C；
④存在某個(gè)位置，使MB∥平面A₁DE．

Answer 1

分析 對于①：由余弦定理可得MB²=MF²+FB²-2MF•FB•cos∠MFB，可得MB是定值，可得正確；
對于②：由反證法即可證明；
對于③：A₁C在平面ABCD中的射影為AC，AC與DE不垂直，可得不正確；
對于④：取CD中點(diǎn)F，連接MF，BF，則平面MBF∥平面A₁DE，可得正確；

解答 解：對于①：由∠A₁DE=∠MFB，MF=$\frac{1}{2}$A₁D=定值，F(xiàn)B=DE=定值，
由余弦定理可得MB²=MF²+FB²-2MF•FB•cos∠MFB，
所以MB是定值，故①正確．
對于②：由反證法，若總有CA₁⊥平面A₁DE成立，可得：總有CA₁⊥平面A₁E成立，錯(cuò)誤；
對于③：∵A₁C在平面ABCD中的射影為AC，AC與DE不垂直，
∴存在某個(gè)位置，使DE⊥A₁C不正確．可得③不正確．
對于④：取CD中點(diǎn)F，連接MF，BF，則MF∥DA₁，BF∥DE，
∴平面MBF∥平面A₁DE，
∴MB∥平面A₁DE，故④正確．
故答案為：①④．

點(diǎn)評 本題主要考查了線面、面面平行與垂直的判定和性質(zhì)定理，考查了空間想象能力和推理論證能力，考查了反證法的應(yīng)用，屬于中檔題．