【題目】定義：由橢圓的兩個焦點(diǎn)和短軸的一個頂點(diǎn)組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”．如果兩個橢圓的“特征三角形”是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比．已知橢圓．

（1）若橢圓，判斷與是否相似？如果相似，求出與的相似比；如果不相似，請說明理由；

（2）寫出與橢圓相似且短半軸長為的橢圓的方程；若在橢圓上存在兩點(diǎn)、關(guān)于直線對稱，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

【答案】(1)相似;相似比為;(2);.

【解析】

(1)分別求出兩個橢圓的特征三角形的腰長和底邊長2,進(jìn)而求出兩個橢圓的相似比;

(2)由題意易得與橢圓與橢圓的相似比為1:,進(jìn)而可求得橢圓得長半軸長,即可得橢圓的方程為;設(shè)直線方程為,聯(lián)立直線方程和橢圓的方程消元化簡，借助于與的交點(diǎn)關(guān)于對稱和根的判別式大于零,可求得的取值范圍.

(1)由題意知:橢圓的特征三角形是腰長為=2,底邊長2=2的等腰三角形; 橢圓的特征三角形是腰長為=4,底邊長2=4的等腰三角形,則由,得兩個三角形相似,所以可得橢圓與橢圓相似,且相似比為;

(2)由橢圓和橢圓相似,且短半軸長分別為1和,可得相似比為1:,則可得橢圓的長半軸長為2,所以橢圓的方程為:;

由題意設(shè)直線為,點(diǎn)M,N,中點(diǎn)坐標(biāo)為(),

聯(lián)立消元化簡得:

∴∴,, ∴中點(diǎn)坐標(biāo)為(,)

由中點(diǎn)在直線上,可得=+1,解得=,

由直線與橢圓有兩個不同的交點(diǎn)得,

代入=解得.

故實(shí)數(shù)的取值范圍為

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了解某校今年高三畢業(yè)班報考飛行員學(xué)生的體重情況，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫出了如圖所示的頻率分布直方圖.已知圖中從左到右的前三組的頻率之比為1：2：3，其中體重在的有5人.

（1）求該校報考飛行員的總?cè)藬?shù)；

（2）從該校報考飛行員的體重在學(xué)生中任選3人，設(shè)表示體重超過70的學(xué)生人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知四棱錐的底面為棱形，且面，，，，且，分別為，的中點(diǎn).

（1）求證：面；

（2）求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且點(diǎn)到橢圓的兩焦點(diǎn)的距離之和為.

（l）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若是橢圓上的兩個點(diǎn)，線段的中垂線的斜率為且直線與交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：三點(diǎn)共線．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，（其中常數(shù)）.

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；

（2）若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，求證：.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的最大值為，其圖像相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，則下列判斷正確的是（）

A. 函數(shù)在上單調(diào)遞增

B. 函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱

C. 當(dāng)時，函數(shù)的最小值為

D. 要得到函數(shù)的圖像，只需要將的圖像向右平移個單位

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，若方程有四個不等實(shí)根，時，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（）

A. B. C. D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的參數(shù)方程；

（2）若曲線與曲線，在第一象限分別交于兩點(diǎn)，且，求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】拋物線：過點(diǎn).

（1）求拋物線的方程；

（2）設(shè)為軸上一點(diǎn)，為拋物線上任意一點(diǎn)，求的最小值；

（3）過拋物線的焦點(diǎn)，作相互垂直的兩條弦和，求的最小值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案