【題目】如圖，已知四棱錐的底面為棱形，且面，，，，且，分別為，的中點(diǎn).

（1）求證：面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）先利用線面垂直的性質(zhì)證明，再由菱形的性質(zhì)可得，根據(jù)線面垂直的判定定理可得結(jié)果；（2）建立空間直角坐標(biāo)系, 取的中點(diǎn)，連，易證面，可得平面的一個(gè)法向量為，利用向量垂直數(shù)量積為零求出平面的法向量，利用空間向量加角余弦公式可求出二面角的余弦值.

（1）∵平面

∴

又∵在菱形中，對(duì)角線為與

∴

又∵

∴面

（2）

平面內(nèi)，過(guò)作直線與垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

，，，，，

∴中點(diǎn)，中點(diǎn)

則取的中點(diǎn)，連，

則，

所以 面，

所以面的一個(gè)法向量為，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則

∴令，則，∴

令二面角的平面角為，易知該二面角為銳角

∴.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖是甲、乙、丙三個(gè)企業(yè)的產(chǎn)品成本（單位：萬(wàn)元）及其構(gòu)成比例，則下列判斷正確的是（　　）

A. 乙企業(yè)支付的工資所占成本的比重在三個(gè)企業(yè)中最大

B. 由于丙企業(yè)生產(chǎn)規(guī)模大，所以它的其他費(fèi)用開(kāi)支所占成本的比重也最大

C. 甲企業(yè)本著勤儉創(chuàng)業(yè)的原則，將其他費(fèi)用支出降到了最低點(diǎn)

D. 乙企業(yè)用于工資和其他費(fèi)用支出額比甲丙都高

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】有兩種理財(cái)產(chǎn)品和，投資這兩種理財(cái)產(chǎn)品一年后盈虧的情況如下（每種理財(cái)產(chǎn)品的不同投資結(jié)果之間相互獨(dú)立）：

產(chǎn)品：

投資結(jié)果

獲利

不賠不賺

虧損

概率

產(chǎn)品：

投資結(jié)果

獲利

不賠不賺

虧損

概率

注：

（1）若甲、乙兩人分別選擇了產(chǎn)品投資，一年后他們中至少有一人獲利的概率大于，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若丙要將20萬(wàn)元人民幣投資其中一種產(chǎn)品，以一年后的投資收益的期望值為決策依據(jù)，則丙選擇哪種產(chǎn)品投資較為理想.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，AB=2AD=2，∠DAB=60°，PA=PC=2，且平面ACP⊥平面ABCD．

（Ⅰ）求證：CB⊥PD；

（Ⅱ）求二面角C-PB-A的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

(1)求不等式的解集；

(2)若直線與的圖象所圍成的多邊形面積為，求實(shí)數(shù)的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】科研人員在對(duì)人體脂肪含量和年齡之間關(guān)系的研究中，獲得了一些年齡和脂肪含量的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本數(shù)據(jù)，如下表：

根據(jù)上表的數(shù)據(jù)得到如下的散點(diǎn)圖．

(1)根據(jù)上表中的樣本數(shù)據(jù)及其散點(diǎn)圖：

(i)求;

(ii)計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并刻畫(huà)它們的相關(guān)程度．

(2)若y關(guān)于x的線性回歸方程為，求的值（精確到0.01），并根據(jù)回歸方程估計(jì)年齡為50歲時(shí)人體的脂肪含量。

附：參考數(shù)據(jù)：

參考公式：相關(guān)系數(shù)

回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2020年?yáng)|京夏季奧運(yùn)會(huì)將設(shè)置米男女混合泳接力這一新的比賽項(xiàng)目，比賽的規(guī)則是：每個(gè)參賽國(guó)家派出2男2女共計(jì)4名運(yùn)動(dòng)員參加比賽，按照仰泳蛙泳蝶泳自由泳的接力順序，每種泳姿100米且由1名運(yùn)動(dòng)員完成，且每名運(yùn)動(dòng)員都要出場(chǎng)，若中國(guó)隊(duì)確定了備戰(zhàn)該項(xiàng)目的4名運(yùn)動(dòng)員名單，其中女運(yùn)動(dòng)員甲只能承擔(dān)仰泳或者自由泳，男運(yùn)動(dòng)員乙只能承擔(dān)蝶泳或者自由泳，剩下的2名運(yùn)動(dòng)員四種泳姿都可以承擔(dān)，則中國(guó)隊(duì)的排兵布陣的方式共有（ ）

A. 144種B. 24種C. 12種D. 6種

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】定義：由橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的一個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形稱(chēng)為該橢圓的“特征三角形”．如果兩個(gè)橢圓的“特征三角形”是相似的，則稱(chēng)這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱(chēng)為橢圓的相似比．已知橢圓．

（1）若橢圓，判斷與是否相似？如果相似，求出與的相似比；如果不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）寫(xiě)出與橢圓相似且短半軸長(zhǎng)為的橢圓的方程；若在橢圓上存在兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的參數(shù)方程；

（2）若曲線與曲線，在第一象限分別交于兩點(diǎn)，且，求的取值范圍.

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