Question

12．已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，S_n表示數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和，且$2{S_n}=a_n^2+{a_n}$
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)${b_n}=\frac{2}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列的遞推式：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，即可得到所求通項(xiàng)；
（2）求得b_n=$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），運(yùn)用數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，計(jì)算即可得到所求和．

解答 解：（1）∵2S_n=a_n²+a_n，
∴當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=2S₁=a₁²+a₁，且a_n＞0，
可得a₁=1，
∵2S_n=a_n²+a_n，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，2S_n-1=a_n-1²+a_n-1，
∴2a_n=2S_n-2S_n-1=a_n²+a_n-a_n-1²-a_n-1，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
又a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=1，
則{a_n}是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，
故a_n=a₁+（n-1）d=n，n∈N*；                  
（2）由b_n=$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
可得T_n=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=2（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用數(shù)列的遞推式，考查等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，同時(shí)考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．