Question

已知點(diǎn)P是直角坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到直線x=-

p

2

-1（p是正常數(shù)）的距離為d₁，到點(diǎn)F(

p

2

，0)的距離為d₂，且d₁-d₂=1．
（1）求動(dòng)點(diǎn)p所在曲線C的方程
（2）直線l過點(diǎn)F且與曲線C交于不同兩點(diǎn)A、B，分別過A、B點(diǎn)作直線l₁：x=-

p

2

的垂線，對應(yīng)的垂足分別為M、N，求證：FM⊥FN．

Answer 1

分析：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)為P（x，y），利用d₁-d₂=1，可得方程，化簡可得結(jié)論；
（2）設(shè)直線l的方程與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及向量的數(shù)量積，可得結(jié)論．

解答：（1）解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)為P（x，y），（1分）
依據(jù)題意，有|x+

p

2

+1|-

(x- p 2 )2+y2

=1，化簡得y²=2px．           （4分）
因此，動(dòng)點(diǎn)P所在曲線C的方程是：y²=2px．                                        …（6分）
（2）證明：由題意可知，當(dāng)過點(diǎn)F的直線l的斜率為0時(shí)，不合題意，故可設(shè)直線l：x=my+

p

2

．    （8分）
聯(lián)立方程組

y2=2px x=my+ p 2

，可化為y²-2mpy-p²=0，
則點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）的坐標(biāo)滿足

y1+y2=2mp y1y2=-p2

．                （10分）
又AM⊥l₁、BN⊥l₁，可得點(diǎn)M(-

p

2

，y1)、N(-

p

2

，y2)．
于是，

FM

=(-p，y1)，

FN

=(-p，y2)，
因此

FM

•

FN

=(-p，y1)•(-p，y2)=p2+y1y2=0．                     （12分）

點(diǎn)評：本題考查軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，屬于中檔題．